Dokument: Stochastische Steuerung von Sprung-Diffusionen mit Anwendung in der Portfoliooptimierung
| Titel: | Stochastische Steuerung von Sprung-Diffusionen mit Anwendung in der Portfoliooptimierung | |||||||
| Weiterer Titel: | Stochastic Control of Jump Diffusions with Application to Portfolio Optimization | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=7990 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20080530-102049-7 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Jonek, Christoph [Autor] | |||||||
| Dateien: |
| |||||||
| Beitragende: | Prof. Dr. Janßen, Klaus [Gutachter] Prof. Dr. Möhle, Martin [Gutachter] Prof. Dr. Korn, Ralf [Gutachter] | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | In dieser Arbeit werden Portfolioprobleme eines Investors in einem Finanzmarkt betrachtet. Im Gegensatz zum klassischen Modell von Merton werden die Wertpapiere durch Sprung-Diffusionen modelliert. Fasst man die Vermögensgleichung des Investors als stochastische Differentialgleichung auf, so kann die Methode der stochastischen Steuerung zur Lösung von Portfolioproblemen herangezogen werden.
Es wird ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Lösungen stochastischer Differentialgleichungen, die von einer m-dimensionalen Brownschen Bewegung und einem l-dimensionalen Poissonschen Zufallsmaß gesteuert werden, bewiesen. Hierbei ist zugelassen, dass die Koeffizienten der stochastischen Differentialgleichungen vom Zufall abhängen. Desweiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz des n-ten Momentes vom Anfangswert X(0)=X_0 auf alle Werte X(t) überträgt. Anschließend wird die Methode der stochastischen Steuerung bei endlichem Zeithorizont für Sprung-Diffusionsprozesse der Gestalt dX(s) = Λ(s,X(s),u(s))ds + Σ(s,X(s),u(s))dW(s) + Γ(s,X(s-),u(s-))dN(s) hergeleitet, wobei W eine m-dimensionale Brownsche Bewegung und N ein davon unabhängiger l-dimensionaler Poisson-Prozess sind. Unter geeigneten Lipschitz- und Wachstumsbedingungen an die Koeffizienten wird ein Verifikationssatz formuliert, der einen Zusammenhang zwischen der Lösung der HJB-Gleichung und der Lösung des Steuerungsproblems liefert. Werden Portfolioprobleme mit stochastischer Zinsrate betrachtet, so sind die geforderten Voraussetzungen an die Koeffizienten nicht immer erfüllt. Für diese Situation wird eine Variante des Verifikationssatzes hergeleitet. Im 2. Teil dieser Arbeit wird ein stochastisches Modell für sprunghafte Bondpreise entwickelt. Dafür wird das klassische Heath-Jarrow-Morton-Modell verallgemeinert, indem die Vorwärtszinsrate zusätzlich mit Sprüngen eines Poisson-Prozesses überlagert wird. Es wird gezeigt, dass der Bondpreisprozess B(∙,\tilde{T}) bezüglich dem äquivalenten Martingalmaß P* die stochastische Differentialgleichung dB(t,\tilde{T}) = B(t-,\tilde{T}) [r(t)dt + U_1(t,\tilde{T})dW_P*(t) + U_2(t,\tilde{T})d\tilde{N}_P*(t)] erfüllt, wobei r die stochastische Zinsrate bezeichnet. Die beiden Prozesse U_1(∙,\tilde{T}) und U_2(∙,\tilde{T}) lassen sich explizit in Termen des Volatilitäts- und des Sprungkoeffizienten der Vorwärtszinsrate angeben. Mit Hilfe der Variante des Verifikationssatzes werden ein Bond-Portfolioproblem und ein Aktie-Bond-Portfolioproblem gelöst, wobei der Zinsrate des Sparkontos, dem Bondpreisprozess und dem Aktienpreisprozess ein Sprung-Diffusionsmodell zugrunde gelegt werden. Im Spezialfall, dass keine Sprünge auftreten, finden sich die Ergebnisse aus der Arbeit von Korn und Kraft (2001) wieder.In this thesis portfolio problems of an investor in a financial market are considered. In contrast to the classical Merton model the assets are modelled by jump diffusions. The wealth equation of the investor is understood as a controlled SDE, hence stochastic control methods can be used to solve portfolio problems. First of all an existence and uniqueness theorem is derived for solutions of SDE's which are driven by an m-dimensional Brownian motion and an l-dimensional Poisson random measure. Here the coeffcients of the SDE's are allowed to be stochastic. In addition it is shown that the existence of the n-th moment of the initial value X(0)=X_0 carries over to all values X(t). In the following the method of stochastic control is derived for a finite time horizon and for jump diffusions of the form dX(s) = Λ(s,X(s),u(s))ds + Σ(s,X(s),u(s))dW(s) + Γ(s,X(s-),u(s-))dN(s) where W is an m-dimensional Brownian motion and N an l-dimensional Poisson process independent of W. Under appropriate Lipschitz and growth conditions on the coefficients a verification theorem is formulated, which connects the solution of the HJB-equation with the solution of the optimal control problem. For portfolio problems with stochastic interest rate the required assumptions of the verification theorem are not always satisfied. For this situation a modified verification theorem is derived. In the second part of this thesis a stochastic model for bond prices with jumps is developed. For this purpose the classical Heath-Jarrow-Morton model is generalized in the sense that the dynamics of the forward rate process allows jumps which occur according to a Poisson process. With respect to the equivalent martingale measure P* it is shown that the bond price process B(∙,\tilde{T}) satisfies the SDE dB(t,\tilde{T}) = B(t-,\tilde{T}) [r(t)dt + U_1(t,\tilde{T})dW_P*(t) + U_2(t,\tilde{T})d\tilde{N}_P*(t)] where r denotes the stochastic interest rate. The processes U_1(∙,\tilde{T}) and U_2(∙,\tilde{T}) can be written explicitly in terms of the volatility and the jump coeffcient of the forward rate. Using the modified verification theorem, a bond portfolio problem and a mixed stock and bond portfolio problem is solved, where the interest rate of the savings account, the bond price process and the stock price process follow jump diffusions. In the special case when there are no jumps these results contain those obtained by Korn and Kraft (2001). | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie | |||||||
| Dokument erstellt am: | 29.05.2008 | |||||||
| Dateien geändert am: | 29.05.2008 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 18.02.2008 | |||||||
| Datum der Promotion: | 08.05.2008 |
