Dokument: Groups acting on rooted trees, the generalised Magnus property and zeta functions of groups

Titel:	Groups acting on rooted trees, the generalised Magnus property and zeta functions of groups
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=64422
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20231218-075710-9
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Petschick, Jan Moritz [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 1,83 MB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 14.12.2023 / geändert 14.12.2023
Beitragende:	Priv.-Doz. Dr. Klopsch, Benjamin [Betreuer/Doktorvater] Jun.-Prof. Dr. Kionke, Steffen [Gutachter]
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	Diese kumulative Dissertation besteht aus drei Teilen, welche unterschiedliche Aspekte der Theorie der unendlichen Gruppen behandeln. Es werden sowohl strukturelle als auch asymptotische Eigenschaften verschiedener Klassen von Gruppen untersucht. Im ersten Teil werden Gruppen mit einer treuen Wirkung auf einen regulären Baum mit Wurzel behandelt. Dabei wird eine neuartige Konstruktion eingeführt, welche von der Definition der Basilica-Gruppe inspiriert ist. Viele interessante Eigenschaften von Gruppen des genannten Typs bleiben unter der Konstruktion erhalten; außerdem läßt sich die Hausdorff-Dimension der entstehenden Gruppen unter bestimmten Voraussetzungen konkret berechnen. Es folgt eine Betrachtung spezieller Klassen von Gruppen von Automorphismen gewurzelter Bäume. Zwei Kriterien für Periodizität konstant-spinaler Gruppen werden bewiesen, die Konjugationsklassen von poly-spinalen Gruppen werden bestimmt und die Automorphismengruppen aller multi-GGS-Gruppen berechnet. Den Schlußpunkt bildet eine Beschreibung der abgeleiteten Reihen aller GGS-Gruppen. Der zweite Teil widmet sich der Magnus-Eigenschaft. Eine Gruppe hat diese, wenn alle Elemente, welche denselben Normalteiler erzeugen, entweder konjugiert oder invers-konjugiert zueinander sind. Zunächst untersuchen wir die Magnus- und einige verwandte Eigenschaften innerhalb der Klassen der endlichen und der kristallographischen Gruppen. Danach studieren wir freie polynilpotente Gruppen, und ermitteln, wann eine solche Gruppe die Magnus-Eigenschaft besitzt. Der letzte Teil besteht aus einer Untersuchung der Darstellungszetafunktionen bestimmter Untergruppen und bestimmter Erweiterungen der Gruppe SL^1_2(Z_p), der ersten Hauptkongruenzuntergruppe der speziellen linearen Gruppe von Grad 2 auf den p-adischen Ganzzahlen Z_p. Es wird gezeigt, daß die untersuchten Zetafunktionen die Zetafunktion von SL^1_2(Z_p) als Faktor besitzen. Kapitel 1 bis 6 sowie 8 und 9 sind je als für sich stehende Aufsätze angelegt und teilweise in Zusammenarbeit mit verschiendenen Koautoren verfaßt. Kapitel 1 ist eine Gemeinschaftsarbeit mit Karthika Rajeev und erschien in "Groups, Geometry and Dynam- ics", [125]. Kapitel 4 ist in Zusammenarbeit mit Anitha Thillaisundaram entstanden und kann auf dem arXiv gefunden werden [126]. Kapitel 8 ist eine Gemeinschaftsarbeit mit Benjamin Klopsch und Luis Mendonça, welche in "Forum Mathematicum" erschienen ist [95]. Kapitel 9 ist in Zusammenarbeit mit Margherita Piccolo entstanden. Kapitel 2 erschien im "Journal of Algebra" [124], Kapitel 3 wird in "Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society" und Kapital 5 in "Journal of Algebra and its Applications" erscheinen. Kapitel 6 ist als Vorversion auf dem arXiv zu finden, siehe [122]. This dissertation is cumulative; it consists of three parts that deal with different aspects of infinite group theory. We study both structural and asymptotic aspects of various classes of groups. In the first part, we consider groups with a faithful action on a regular rooted tree. We introduce a new construction that is inspired by the definition of the Basilica group. Many interesting properties of groups of the kind considered are preserved under the construction; furthermore, under some conditions the Hausdorff dimension of the resulting groups can be computed explicitly. We continue with a study of certain classes of groups of automorphisms of rooted trees. We prove two criteria for constant spinal groups to be periodic, we study the conjugacy classes of poly-spinal groups, and we calculate the automorphism groups of multi-GGS-groups. Finally, we give a description of the derived series of all GGS-groups. The second part deals with the Magnus property. A group is said to possess this property, if elements generating the same normal subgroup are either conjugate, or inverse-conjugate to each other. First we consider the Magnus property and akin properties within the class of finite groups and the class of crystallographic groups. Then we turn our attention to free polynilpotent groups, and find out under which additional conditions such groups do possess the Magnus property. The last part is a study of the representation zeta function of certain subgroups and certain extensions of the group SL^1_2(Z_p), the first principal congruence subgroup of the special linear group of degree 2 over the p-adic integers Z_p. We show that the zeta functions under consideration have the zeta function of SL^1_2(Z_p) as a factor. Chapter 1 to 6 as well as 8 and 9 are written as stand-alone research articles. Chapter 1 is written in collaboration with Karthika Rajeev and was published under the title ‘On the Basilica operation’ in ‘Groups, Geometry and Dynamics’ [125]. Chapter 2 is a joint work with Anitha Thillaisundaram and can be found on the arXiv [126] (arXiv:2201.03266). Chapter 8 is written in collaboration with Benjamin Klopsch and Luis Mendonça and published in ‘Forum Mathematicum’ [95]. Chapter 9 is a collective work with Margherita Piccolo. Chapters 2 was published in the ‘Journal of Algebra’ [124], Chapter 3 will be published in the ‘Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society’, and Chapter 5 will be published in the ‘Journal of Algebra and its Applications’. Chapter 6 can be found as a preprint on the arXiv [122] (arXiv:2208.14975).
Lizenz:	Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Algebra und Zahlentheorie
Dokument erstellt am:	18.12.2023
Dateien geändert am:	18.12.2023
Promotionsantrag am:	07.09.2022
Datum der Promotion:	14.02.2023