Dokument: Long-term Dynamics for Living Fluids and Heterogeneous Catalysis and an Approach to the Stokes Equations via Duality Scales

Titel:	Long-term Dynamics for Living Fluids and Heterogeneous Catalysis and an Approach to the Stokes Equations via Duality Scales
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=62646
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20230615-113253-3
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Gesse, Christian [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 834,5 KB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 12.05.2023 / geändert 12.05.2023
Beitragende:	Prof.Dr. Saal, Jürgen [Gutachter] Prof. Dr. Denk, Robert [Gutachter]
Stichwörter:	Partial Differential Equations, Living Fluids, Heterogeneous Catalysis, Duality Scales
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	In this thesis we consider (in)stability and long-term behavior of a living fluids model, stability of a model for the heterogenous catalysis process and as a last topic the use of duality scales on complemented subspaces with regard to partial differential equations. The first model to be considered, a living fluids model, is given as generalized Navier-Stokes equations and describes dense bacterial suspensions at low Reynolds number. We establish a complete analysis of linear and nonlinear stability and instability in the periodic L^2-setting about the two relevant types of equilibria and find parameter sets corresponding to stability and instability. Afterwards, we show that the living fluids model possesses a global attractor of finite dimension and arbitrary high regularity, which characterizes the long-term behavior of the model. The second model considered in this thesis stems from chemical engineering and describes the process of heterogeneous catalysis in a cylinder-shaped domain. Since the catalysis considered is heterogeneous, we assume the catalyzer to be on the lateral boundary of the cylinder, which results in a coupled system of equations in the bulk and on the lateral boundary. We show stability and instability for the heterogeneous catalysis model in the L^p-setting dependent on the chemical reaction which is chosen on the lateral boundary. In the last part of this thesis we consider the concept of duality scales of Banach spaces, which gives a more precise meaning to the concept of duality. We show that under certain assumptions regarding a consistent projection P on these scales, the property of being a duality scale is preserved if we consider the complemented subspaces. As an example, we consider the Stokes operator with mixed-type boundary conditions on C^3-domains with compact boundary and apply the theory of projected duality scales in order to obtain solutions. Finally, we give some abstract results regarding duality scales on complemented subspaces which exploit the property of compactness. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der (In-)stabilität und dem Langzeitverhalten eines Living-Fluid Modells, der Stabilität einer Klasse von Modellen zur Beschreibung heterogener Katalyse und zuletzt mit der Anwendung von Dualitätsskalen auf komplementierte Unterräume in Bezug auf Partielle Differentialgleichungen. Das erste Modell in dieser Arbeit, ein Modell zur Beschreibung der Dynamik von Living Fluids, ist gegeben als verallgemeinerte Navier-Stokes Gleichungen und beschreibt dichte Bakterienlösungen bei niedrigen Reynolds-Zahlen. Wir führen eine vollständige Untersuchung der Gleichungen im periodischen L^2-Setting im Hinblick auf lineare und nichtlineare Stabilität und Instabilität um die physikalisch relevanten Equilibrien herum durch und finden Parameter-Bereiche für Stabilität und Instabilität. Anschließend zeigen wir, dass das Living-Fluid Modell einen globalen Attraktor von beliebig hoher Regularität und endlicher Dimension besitzt, womit das Langzeitverhalten des Modells beschrieben wird. Das zweite Modell in dieser Arbeit stammt aus dem Bereich der Chemie und beschreibt den Prozess heterogener Katalyse in einem zylinderförmigen Gebiet. Da die Katalyse als heterogen vorausgesetzt wird, nehmen wir an, dass sich der eigentliche Katalysator auf dem äußeren Mantel des Zylinders befindet. Daraus resultiert ein gekoppeltes System von Gleichungen im Innern und auf dem Mantel des Zylinders. Wir weisen Stabilität und Instabilität für das Modell im L^p-Setting nach, abhängig von den chemischen Reaktionen welche auf dem Mantel des Zylinders stattfinden. Im letzten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit dem Konzept der Dualitätsskalen von Banachräumen, welches dem Prinzip von Dualität eine präzisere Bedeutung gibt. Wir zeigen, dass die Eigenschaft, eine Dualitätsskala zu sein, unter Anwendung einer konsistenten Projektion P unter gewissen Bedingungen auf den komplementierten Unterräumen erhalten bleibt. Als Beispiel untersuchen wir den Stokes-Operator mit gemischten Randbedingungen auf einem C^3-Gebiet mit kompaktem Rand und wenden die Theorie projizierter Dualitätsskalen an, um Lösungen zu erhalten. Schließlich zeigen wir einige abstrakte Resultate zu Dualitätsskalen auf komplementierten Unterräumen, welche sich Kompaktheitseigenschaften zunutze machen.
Lizenz:	Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät
Dokument erstellt am:	15.06.2023
Dateien geändert am:	15.06.2023
Promotionsantrag am:	14.02.2023
Datum der Promotion:	05.04.2023