Dokument: Transport Phenomena in Two-Dimensional Lorentz Gases

Titel:

Transport Phenomena in Two-Dimensional Lorentz Gases

Weiterer Titel:

Transportphänomene in Zweidimensionalen Lorentz Gasen

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URN (NBN):

urn:nbn:de:hbz:061-20230116-130433-9

Kollektion:

Dissertationen

Sprache:

Englisch

Dokumententyp:

Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation

Medientyp:

Text

Autor:

Sanvee, Benjamin [Autor]

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Beitragende:

Prof. Dr. Horbach, Jürgen [Gutachter]
Prof. Dr. Heinzel, Thomas [Gutachter]

Dewey Dezimal-Klassifikation:

500 Naturwissenschaften und Mathematik » 530 Physik

Beschreibungen:

In this thesis, we investigate the movement of tracer particles in a two-dimensional plane where randomly distributed fixed obstacles are placed. This system is called a Lorentz gas and is a model system for transport in heterogeneous media. It can exhibit normal and anomalous diffusion depending on the geometry of the obstacles and the obstacle density. For square obstacles all oriented in the same direction and allowed to overlap, the system exhibits anomalous diffusion as the diffusion coefficient vanishes and the mean squared displacements shows sub-diffusive behaviour. In the non-overlapping case, the diffusion is normal. This system is called Ehrenfests' wind-tree model (EWTM). In the case of non\hyp{}overlapping obstacles, we have computed the third-order term in the density expansion of the diffusion constant. In the EWTM with overlapping obstacles, we show that the mean squared displacement has a density\hyp{}dependent exponent. This settles the open question about the asymptotic behaviour of the tracer particles in the EWTM with overlapping obstacles. Furthermore, we propose a closed functional form for the van Hove correlation function in the EWTM with overlapping obstacles.

For circular obstacles, the dynamics of the tracer particles are chaotic and one observes normal diffusion in the long-time limit. If a magnetic field is switched on perpendicularly to the Lorentz gas, it then mimics the classical transport of electrons in a two-dimensional electron gas (2DEG) with obstacles. These systems can be realised experimentally and we compare our simulation results with experimental measurements performed in the group of Prof. Heinzel at the Heinrich-Heine University of Düsseldorf. We investigate the robustness of the predictions of the Drude theory for higher densities. Moreover, we analysed the behaviour of the EWTM at low fields where we observe a reversal of the Hall resistance.

As the density of the obstacles is increased, the system undergoes a delocalisation-to-localisation transition at the percolation transition of the free area. At the percolation threshold, an infinite cluster of obstacles traverses the system. This cluster has a fractal structure and the tracer particles exhibit anomalous diffusion. In the presence of a magnetic field, a second percolation threshold appears. This is due to the fact that for sufficiently large magnetic fields and low densities, the particles are trapped in the vicinity of the obstacles. For circular obstacles, the critical densities are known analytically, but for arbitrary geometries the critical density of this field\hyp{}induced transition is not known. We have devised a method to compute the critical density of this second percolation transition for any geometrical shape. We have computed the phase diagram for the EWTM in the presence of a magnetic field and computed the universal exponent of the mean squared displacement at both percolation transitions. We find that both transitions are not in the same universality class in agreement with an earlier simulation study.

In dieser Arbeit untersuchen wir die Bewegung von Tracerteilchen auf einer zweidimensionalen Fläche, auf der zufällig verteilte, unbewegliche Hindernisse platziert sind. Dieses System nennt sich Lorentzgas und ist ein Modell für den Transport in heterogenen Medien. In Lorentzgasen beobachtet man sowohl normale als auch anomale Diffusion. Dies hängt von der Dichte und der Geometrie der Hindernisse ab.
Systeme mit \mbox{gleich} ausgerichteten quadratischen Hindernissen, die sich überlappen, weisen eine anomale Diffusion der Tracer-Teilchen auf: Der Diffusionskoeffizient verschwindet und das mittlere Verschiebungsquadrat weist ein subdiffusives Verhalten auf. Im nicht überlappenden Fall ist die Diffusion normal. Bei diesem System handelt es sich um das Ehrenfestsche Wind-Tree Modell (EWTM). Für den Fall nicht überlappender Hindernisse haben wir die dritte Ordnung in der Dichteentwicklung der Diffusionskonstante errechnet. Im Fall überlappender Hindernisse zeigen wir, dass das mittlere Verschiebungsquadrat einen dichteabhängigen Exponenten aufweist. Hiermit klären wir die Frage des asymptotischen Verhaltens der Tracer-Teilchen im EWTM mit überlappenden Hindernissen. Des Weite\-ren schlagen wir einen Ausdruck für die Van-Hove-Korrelationsfunction im EWTM mit überlappenden Hindernissen vor.

Für kreisförmige Hindernisse ist die Dynamik der Tracer-Teilchen chaotisch und wir beobachten normale Diffusion im Langzeit-Limes. In Anwesenheit eines Magnetfeldes senkrecht zur Ebene des Lorentzgases, ahmt das System den Magnetotransport von Elektronen in einem zweidimensionalen Elektronengas (2DEG) in Anwesenheit von Hindernissen nach. Diese Systeme können experimentell realisiert werden. Entsprechende Experimente wurden in der Gruppe von Prof. Heinzel an der Heinrich-Heine Universität Düsseldorf durchgeführt. Wir untersuchen an ihnen die Robustheit der Drude-Theorie bezüglich der Vorhersage des Hallkoeffizienten. Des Weite\-ren untersuchen wir das Verhalten des EWTMs bei kleinen Dichten und beobachten dort einen negativen Hallwiderstand.

Wird die Dichte der Hindernisse erhöht, durchläuft die freie Fläche einen Lokalisierungsübergang an der Perkolationsschwelle. Es bildet sich ein unendlich zusammenhängendes Gebiet von Hindernissen aus (Cluster). An der Perkolationsschwelle hat der Cluster eine fraktale Struktur und das System weist anomalen Transport auf.
In Anwesenheit eines Magnetfeldes entsteht eine zweite Perkolationsschwelle. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Tracer-Teilchen wegen ihrer kreisförmigen Trajektorien nicht mehr in der Lage sind, sich beliebig weit von der Oberfläche der Hindernisse zu entfernen. Dadurch können sie sich nicht mehr durch das komplette System bewegen. Bei genügend niedriger Dichte und hohem Magnetfeld sind sie in der Umgebung der Hindernisse lokalisiert. Für kreisförmige Hindernisse ist der analytische Ausdruck für diese Perkolationsschwellen bekannt, für beliebige Obstacle-Geometrien hingegen nicht. Wir haben eine Methode ent\-wickelt, um die Perkolationsschwellen dieses Übergangs zu berechnen. Mit dieser Methode konnten wir das Phasendiagramm des EWTM bestimmen. Die kritischen Exponenten an beiden Perkolationsschwellen konnten somit bestimmt werden. Wir konnten herausfinden, dass beide Übergänge nicht dasselbe universelle Verhalten aufweisen. Dies ist im Einklang mit einer vorherigen Studie.

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Fachbereich / Einrichtung:

Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Physik » Theoretische Physik

Dokument erstellt am:

16.01.2023

Dateien geändert am:

16.01.2023

Promotionsantrag am:

09.11.2022

Datum der Promotion:

22.12.2022

Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf

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