Dokument: Faltungsalgorithmen für transparente Randbedingungen
| Titel: | Faltungsalgorithmen für transparente Randbedingungen | |||||||
| Weiterer Titel: | Convolution Algorithms for Transparent Boundary Conditions | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=60493 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20220831-110102-3 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Fischer, Marina [Autor] | |||||||
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| Beitragende: | Prof. Dr. Schädle, Achim [Gutachter] PD Dr. Schmidt, Kersten [Gutachter] | |||||||
| Stichwörter: | Transparente Randbedingungen, NtD-Operator, Wellengleichung, fraktionale Schrödinger-Gleichung, periodischer Wellenleiter, Faltungsquadratur, exponentielle Quadratur, Laplace-Transformation | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | In dieser Arbeit betrachten wir zwei zeitabhängige Probleme -- zum einen die fraktionale Schrödinger-Gleichung auf der reellen Achse, zum anderen die Wellengleichung auf einem zweidimensionalen periodischen Wellenleiter. Hierbei gehen wir von einem lokalen Defekt in einem beschränkten Gebiet Ω_0 des Ausbreitungsmediums aus. Für beide Probleme leiten wir transparente Randbedingungen in Form von Faltungsintegralen her, mit deren Hilfe die Lösung in Ω_0 bestimmt werden kann.
Hierbei beobachten wir, dass die Laplace-Transformierte des Faltungskerns für die Darstellung der transparenten Randbedingungen im Fall der fraktionalen Schrödinger-Gleichung analytisch in einem Sektor mit |arg(λ)| < π / 2 + θ ist und dort eine polynomielle Schranke vorweist. Die Laplace-Transformierte im Fall der Wellengleichung dagegen ist analytisch und polynomiell beschränkt lediglich in der rechten Halbebene. Im ersten Teil dieser Arbeit studieren wir daher Methoden zur Faltungsquadratur, die auf das unterschiedliche Verhalten der Laplace-Transformierten angepasst sind. In beiden Fällen beschreiben wir Faltungsalgorithmen, die jeweils durch verschiedene Merkmale als „schnell“ bezeichnet werden können. Im zweiten Teil stellen wir unter Verwendung der inversen Laplace-Transformation einen Zusammenhang zwischen der zeitharmonischen Helmholtz-Gleichung und den zu untersuchenden zeitabhängigen Problemen her, wodurch wir auf eine bekannte Methode zur Bestimmung der benötigten Operatoren im Frequenzbereich zurückgreifen können, die uns letztendlich die oben genannten Darstellungen der transparenten Randbedingungen liefern. Die vollständigen Diskretisierungen beider Probleme sowie die Anwendungen der schnellen Faltungsalgorithmen zur Berechnung der Lösung in Ω_0 werden herausgearbeitet und anhand von numerischen Experimenten untersucht.In this thesis, we focus on two time-dependent problems, namely the time-fractional Schrödinger equation on the real line and the wave equation in a two-dimensional periodic waveguide. We consider a local perturbation in a bounded domain Ω_0 of the propagation media. For either problem, we derive transparent boundary conditions in the form of convolution integrals which can be used to compute the solution in Ω_0. We notice that the Laplace transform of the convolution kernel in the case of the fractional Schrödinger equation is analytic and satisfy a polynomial bound in a sector with |arg(λ)| < π / 2 + θ. When considering the wave equation the Laplace transforms prove to be analytic and polynomially bounded only in the right half plane. Therefore, in the first part of this thesis, we study convolution quadrature methods that match the Laplace transforms' different behaviour. In both cases, we describe convolution algorithms each of which can be denoted as „fast“ due to different features. On using the inverse Laplace transform in the second part, we establish a connection between the time-harmonic Helmholtz equation and the time-dependent problems that we focus on. Thus, a well-known approach for periodic media can be applied to derive operators in the frequency domain that finally yield the transparent boundary conditions in the time domain that are mentioned above. The fully discretised versions of both problems as well as the application of the fast algorithms for computing the solution in Ω_0 are presented in detail and tested by conducting some numerical experiments. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Angewandte Mathematik | |||||||
| Dokument erstellt am: | 31.08.2022 | |||||||
| Dateien geändert am: | 31.08.2022 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 20.05.2022 | |||||||
| Datum der Promotion: | 15.08.2022 |
