Dokument: Representations of GGS-groups and generalisations of the Basilica group

Titel:	Representations of GGS-groups and generalisations of the Basilica group
Weiterer Titel:	Darstellungen von GGS-Gruppen und Verallgemeinerte Basilika-Gruppen
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=60456
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20220829-081134-3
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Rajeev, Karthika [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 1,80 MB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 19.08.2022 / geändert 19.08.2022
Beitragende:	Priv.-Doz. Dr. Klopsch, Benjamin [Gutachter] Prof. Dr. Fernández-Alcober, Gustavo A. [Gutachter]
Stichwörter:	Groups acting on rooted trees, self-similar groups, branch groups, GGS-groups, Basilica group, congruence subgroup property, Hausdorff dimension, maximal subgroups, representation growth, representation zeta function
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Dokumententyp (erweitert):	Dissertation
Beschreibungen:	In dieser Dissertation werden zwei bemerkenswerte Klassen von Gruppen untersucht, die treu auf unendlichen regulären gewurzelten Bäumen wirken, und starke Selbstähnlichkeitsmerkmale aufweisen. Bei den betrachteten Gruppen handelt es sich um Grigorchuk--Gupta--Sidki-Gruppen (GGS-Gruppen) und um Verallgemeinerungen der sogenannten Basilika-Gruppe. Die vorliegende Arbeit ist kumulativer Natur, sie besteht aus zwei in sich abgeschlossenen Teilen, die wiederum je zwei Projekte umfassen. Der erste Teil behandelt die kürzlich erstmalig beschriebenen Darstellungszetafunktionen von Gruppen mit treuer Wirkung auf gewurzelten Bäumen. Die Darstellungszetafunktion einer Gruppe G ist die Dirichlet-erzeugende Funktion, welche die Anzahl der endlich-dimensionalen irreduziblen komplexen Darstellungen von G kodiert. Vermöge dieses Werkzeuges beweisen wir, dass eine große Klasse von GGS-Gruppen polynomielles Darstellungswachstum besitzen, und geben eine Schranke für den Grad dieses polynomiellen Wachstumes an. Außerdem führen wir explizit Berechnungen durch, um die Darstellungszetafunktion der Gupta--Sidki 3-Gruppe zu beschreiben. Die dabei erlangte Funktionalgleichung stimmt mit derjenigen überein, die Bartholdi auf Grundlage undokumentierter Computerberechnungen aufstellte. Der zweite Teil der Arbeit umfasst zwei Artikel über Verallgemeinerungen der Basilika-Gruppe: (1) Mit Jan Moritz Petschick: On the Basilica operation, erscheint in: Groups, Geometry, and Dynamics, verfügbar unter arXiv:2103.05452; (2) mit Anitha Thillaisundaram: Maximal subgroups of generalised Basilica groups, verfügbar unter arXiv:2103.05452. Beide Artikel sind als in sich geschlossene Kapitel in die Dissertation integriert. Der erste Artikel wird durch einen detaillierten Beweis (für Theorem 6.8) ergänzt, der in der arXiv- und in der zur Veröffentlichung angenommenen Version nicht enthalten ist. Inspiriert von der Basilika-Gruppe führen wir eine von der ursprünglichen Gruppe unabhängige Konstruktion ein. Mittels dieser sogenannten Basilika-Operation gewinnt man aus einer gegebenen Gruppe von Automorphismen eines gewurzelten Baumes eine unendliche Familie von Basilika-Gruppen. Wir untersuchen, welche Eigenschaften von Gruppen von Automorphismen gewurzelter Bäume unter der Basilika-Operation erhalten bleiben. Für Gruppen mit starken Selbstähnlichkeitsmerkmalen entwickeln wir neuartige Methoden zur Berechnung der Hausdorff-Dimension, welche im Allgemeinen schwer zu bestimmen ist. Außerdem untersuchen wir ein Analogon des klassischen Kongruenzuntergruppenproblems, das üblicherweise im Kontext von arithmetischen Gruppen untersucht wird. Im zweiten Artikel betrachten wir die maximalen Untergruppen bestimmter Basilika-Gruppen und beweisen, dass sie von endlichem Index in der entsprechenden Basilika-Gruppe sind. This dissertation is a study of two remarkable classes of groups that admit faithful actions on infinite regular rooted trees and exhibit strong self-similarity features. The groups that we consider are Grigorchuk--Gupta--Sidki groups (GGS-groups) and generalisations of the so-called Basilica group. This thesis is written in the form of a cumulative dissertation consisting of two self-contained parts; each comprises two projects. The first part contains an investigation of the emerging field of representation zeta functions of groups acting on rooted trees. The representation zeta function of a group G is the Dirichlet generating function that encodes the number of finite-dimensional irreducible complex representations of G. Using representation zeta function as a tool, we prove that a large class of GGS-groups, for instance, the Gupta--Sidki groups, have polynomial representation growth, and provide a bound for the degree of polynomial growth. Furthermore, we carry out explicit computations to describe the representation zeta function of the Gupta--Sidki 3-group. The functional equation which we obtain agrees with the one provided by Bartholdi based on undocumented computer calculations. The second part of the thesis comprises two articles on generalisations of the Basilica group: (1) With Jan Moritz Petschick: On the Basilica operation, Groups, Geometry, and Dynamics, to appear, available at arXiv:2103.05452; (2) With Anitha Thillaisundaram: Maximal subgroups of generalised Basilica groups, available at arXiv:2103.05452. Both articles are incorporated into the thesis as self-contained chapters. The first article is supplemented by a detailed proof (for Theorem 6.8) which is not included in the arXiv and accepted versions. Inspired by the Basilica group, together with Petschick, we introduce a general construction, called the Basilica operation, that produces an infinite family of Basilica groups from a given group of automorphisms of a rooted tree. We investigate which properties of groups of automorphisms of rooted trees are preserved under the Basilica operation. For groups that display strong self-similarity features, we develop new techniques for computing their Hausdorff dimension, which is generally difficult to calculate. Furthermore, we investigate an analogue of the classical congruence subgroup problem, which is studied in the context of arithmetic groups. In the second article, we study maximal subgroups of certain Basilica groups, and prove that they are of finite index in the corresponding Basilica groups.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Algebra und Zahlentheorie
Dokument erstellt am:	29.08.2022
Dateien geändert am:	29.08.2022
Promotionsantrag am:	01.02.2022
Datum der Promotion:	28.03.2022