Dokument: Holomorphe Familien von Pseudo-Laplace-Operatoren auf Riemannschen Flächen mit einer Spitze

Titel:	Holomorphe Familien von Pseudo-Laplace-Operatoren auf Riemannschen Flächen mit einer Spitze
Weiterer Titel:	Holomorphic Families of Pseudo Laplacians on Riemann Surfaces with One Cusp
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=59795
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20220610-103506-5
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Deutsch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Balkenhol, Marlis [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 1,22 MB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 03.06.2022 / geändert 03.06.2022
Beitragende:	Prof. Dr. Braun, Rüdiger [Gutachter] Prof. Dr. Langenbruch, Michael [Gutachter]
Stichwörter:	Pseudo-Laplace-Operator, Eisensteinreihe, Streumatrix, Robin-Pseudo-Laplace-Operator
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	In dieser Arbeit wird für den Pseudo-Laplace-Operator von Yves Colin de Verdière auf Riemannschen Flächen mit einer Spitze auf zwei verschiedene Weisen eine Störungstheorie entwickelt. Im ersten Teil werden durch eine geeignete Approximationsfunktion und Taylorentwicklung die ersten beiden Ableitungen der Eigenwerte des klassischen Pseudo-Laplace-Operators untersucht. Hierdurch erhalten wir die durch die Maass-Selberg-Relation bekannte Formel für die logarithmische Ableitung der Streumatrix der Eisensteinreihe. Ferner wird eine Differentialgleichung für die Phasenfunktion θ der Streumatrix aufgestellt. Im Hauptteil der Arbeit wird der klassische Laplace-Operator durch die Setzung einer Robin-Randbedingung modifiziert. Auf diese Weise wird unter Hinzunahme des klassischen Laplace-Operators eine auf der ganzen Riemannschen Zahlensphäre holomorphe Familie von (Robin-)Pseudo-Laplace-Operatoren konstruiert. Wie im ersten Teil untersuchen wir ihre Ableitungen. Als eines der Hauptresultate erhalten wir ein Theorem über die Überdeckung der reellen Achse durch Eigenwertintervalle, aus welchem die Gültigkeit des Weylschen Gesetzes für alle reell parametrisierten Operatoren der Familie folgt. Ein weiteres wichtiges Resultat ist eine Integralformel für den Abstand zweier aufeinanderfolgender Eigenwerte des klassischen Pseudo-Laplace-Operators. In this thesis, we introduce two ways for a perturbation theory for the Pseudo Laplacian of Yves Colin de Verdière on Riemann surfaces with one cusp. In the first part, we examine the first two derivatives of the eigenvalues of the classical Pseudo Laplacian by use of a suitable approximation and Taylor expansion. We derive the formula for the logarithmic derivative of the scattering matrix that can also be derived from the classical Maass Selberg Relation. Also, we establish a differential equation for the phase function θ of the scattering matrix. In the main part of the thesis, the classical Pseudo Laplacian is modified through a boundary condition of Robin type. By adding the classical Pseudo Laplacian, we construct a family of (Robin) Pseudo Laplacians that is holomorphic on the whole Riemann sphere. As in the first part, we study the derivatives of its eigenvalues. One of our main results states that the real axis is covered by intervals of eigenvalues. For example, this theorem implies Weyl’s law for every real parametrised Robin Pseudo Laplacian. Another important result is an integral formula for the distance of two subsequent eigenvalues of the classical Pseudo Laplacian.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Algebra und Zahlentheorie
Dokument erstellt am:	10.06.2022
Dateien geändert am:	10.06.2022
Promotionsantrag am:	10.02.2022
Datum der Promotion:	02.06.2022