Dokument: Semistable Lévy Processes and Log-Periodically Disturbed Fractional Calculus

Titel:	Semistable Lévy Processes and Log-Periodically Disturbed Fractional Calculus
Weiterer Titel:	Semistabile Lévy-Prozesse und log-periodisch gestörtes fraktioniertes Kalkül
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=58049
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20211122-105519-3
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Lage, Svenja [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 2,52 MB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 14.11.2021 / geändert 14.11.2021
Beitragende:	Prof. Dr. Kern, Peter [Gutachter] Prof. Dr. Schnurr, Alexander [Gutachter]
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	It is well-known that densities of stable Lévy processes solve particular fractional diffusion equations. On the other hand, fractional diffusion equations gain a stochastically meaningful interpretation by their connection to stable laws. That way, fractional calculus and the theory of stable laws are strongly connected, and both areas benefit noticeably from this connection. The present thesis investigates a similar relationship between semistable Lévy processes and generalized fractional derivatives with log-periodic perturbations, which we call semi-fractional derivatives. To develop a basic idea of these operators, we initially show essential characteristics like Fourier and Laplace transforms as well as different integral representations and their relations. Besides, a numerical approximation of Grünwald-Letnikov type is proven. A semigroup approach finally yields the desired connection between semistable densities and semi-fractional diffusion equations. Due to this connection, the knowledge about semi-fractional derivatives is able to enrich our understanding of semistable laws and even offers the possibility to numerically approximate semistable densities. On that basis, we study different related issues to evaluate the potential of semi-fractional calculus. First, we consider general Cauchy problems with semi-fractional time and space derivatives and prove an integral representation of the solution. Also, we identify the stochastic processes governed by these equations. Namely, they appear as limiting processes of uncoupled Continuous Time Random Walks (CTRW limits). The CTRWs offer a microscopic description of the underlying system and are a valuable tool in applications. Thereby, the case of uncoupled CTRWs is quite a special one. Thus, we also study the far more general case of a possibly coupled CTRW and analyze its convergence as well as the resulting limiting distribution. Semi-fractional derivatives are non-local operators, and hence, semi-fractional space derivatives require the inclusion of the whole environment into their calculation. Similarly, semi-fractional time derivatives model long-time memory effects of the underlying system. Since the latter one is easier to handle for practical applications, we offer a space-time duality result. This states that a negatively-skewed space semi-fractional differential equation is equivalent to a particular inhomogeneous differential equation with semi-fractional time derivative. To strengthen the theory of semi-fractional calculus, we finally study its potential to model real-world applications. Therefore, we explore different semi-fractional growth models and apply them to mobile use and cancer growth data. Additionally, we consider tempered semi-fractional diffusion and show how the therein included damping of huge events' probability yields good fits in stock data. Ein weithin bekanntes Resultat aus der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt, dass die Dichten von stabilen Lévy-Prozessen bestimmte fraktionierte Diffusionsgleichungen lösen. Andererseits können fraktionierte Diffusionsgleichungen durch diese Verbindung stochastisch interpretiert werden. Somit besteht eine starke Verbindung zwischen diesen beiden Teilbereichen der Mathematik, von der beide Gebiete im Laufe der letzten Jahrzehte spürbar profitieren konnten. Die vorliegende Arbeit entwickelt eine analoge Beziehung zwischen semistabilen Lévy-Prozessen und fraktionierten Ableitungen mit log-periodischer Störung, welche wir semi-fraktionierte Ableitungen nennen. Um eine grundlegende Vorstellung dieser Operatoren zu gewinnen, analysieren wir nicht nur die Fourier- und Laplacetransformierten von semi-fraktionierten Ableitungen, sondern beweisen ebenfalls verschiedene Integraldarstellungen sowie deren Beziehungen untereinander. Zusätzlich bietet eine Approximation vom Grünwald-Letnikov Typ die Möglichkeit, semi-fraktionierte Ableitungen numerisch zu berechnen. Die gewünschte Darstellung semistabiler Dichten als Lösungen bestimmter semi-fraktionierter Diffusionsgleichungen wird schließlich mithilfe eines Halbgruppen-Ansatzes aufgezeigt. Das gewonnene Wissen über semi-fraktionierte Ableitungen kann nun dafür verwendet werden, unser Verständnis von semistabilen Dichten zu vertiefen. Insbesondere bietet es die Möglichkeit, semistabile Dichten numerisch zu approximieren. Darauf aufbauend betrachten wir mehrere weiterführende Problemstellungen. Zunächst werden allgemeine Cauchy Probleme mit semi-fraktionierter Zeit- und Ortsableitung betrachtet und eine Integraldarstellung der Lösung bewiesen. Es stellt sich heraus, dass die Lösungen Dichten von Grenzwertprozessen von ungekoppelten Continuous Time Random Walks (CTRWs) sind. Diese bieten eine mikroskopische Beschreibung des zugrunde liegenden Systems und können daher leicht auf Anwendungsbeispiele übertragen werden. Neben dem ungekoppelten Fall betrachten wir auch die Konvergenz und die Grenzwertdichten allgemeiner CTRWs, in denen beliebige Abhängigkeiten zwischen den Sprüngen und Wartezeiten erlaubt sind. Semi-fraktionierte Ableitungen sind nicht-lokale Operatoren und daher muss für die Berechnung einer semi-fraktionierten Ortsableitung die gesamte Umgebung in die Berechnung einbezogen werden. Ebenso schließen semi-fraktionierte Zeitableitungen die gesamte Vergangenheit in ihre Berechnung mit ein. Da das Letztere als Langzeitgedächtnis des zugrunde liegenden Systems für praktische Anwendungen leichter zu interpretieren ist, stellen wir eine Ort-Zeit-Dualität vor. Dabei können bestimmte Diffusionsgleichungen mit semi-fraktionierter Ortsableitung in eine inhomogene Differentialgleichung mit semi-fraktionierter Zeitableitung überführt werden. Gestärkt wird die Theorie semi-fraktionierter Differentialgleichungen schließlich durch die Betrachtungen von Anwendungsbeispielen. Dabei untersuchen wir zunächst verschiedene Wachstumsmodelle und wenden diese auf mobile Internetnutzung sowie Tumorwachstum an. Zusätzlich betrachten wir temperierte semi-fraktionierte Diffusionsgleichungen, welche zu guten Approximationen von Aktienmarktdaten führen.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie
Dokument erstellt am:	22.11.2021
Dateien geändert am:	22.11.2021
Promotionsantrag am:	30.03.2021
Datum der Promotion:	26.08.2021