Dokument: Magnus-Eigenschaft und Freiheitssätze für Gruppen
| Titel: | Magnus-Eigenschaft und Freiheitssätze für Gruppen | |||||||
| Weiterer Titel: | Magnus property and freedom theorems for groups | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=53482 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20200624-131158-3 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Feldkamp, Carsten Michael [Autor] | |||||||
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| Beitragende: | Priv.-Doz. Prof. Dr. Bogopolski, Oleg [Gutachter] Priv.-Doz. Dr. Klopsch, Benjamin [Gutachter] | |||||||
| Stichwörter: | Magnus-Eigenschaft, Freiheitssatz, amalgamierte Produkte, direkte Produkte, Seifert-Mannigfaltigkeiten, Magnus property, freedom theorem, amalgamated products, direct products, Seifert manifolds | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | Das Ziel dieser Dissertation besteht in der Untersuchung diverser Gruppen auf Magnus-Eigenschaft sowie in der Entwicklung von Freiheitssätzen.
Eine Gruppe $G$ besitzt die \emph{Magnus-Eigenschaft}, wenn für alle Elemente $r$, $s \in G$ mit demselben normalen Abschluss in $G$ gilt, dass $r$ in $G$ zu $s$ oder $s^{-1}$ konjugiert ist. Die Magnus-Eigenschaft ist nach W. Magnus benannt, welcher diese Eigenschaft im Jahr 1930 für freie Gruppen beliebigen Rangs zeigte. In derselben Arbeit bewies W. Magnus auch den sogenannten \emph{Freiheitssatz}: Sei $F$ eine freie Gruppe mit Basis $\mathcal{X}$ und $v$ ein zyklisch gekürztes Element von $F$, welches ein Basiselement $x \in \mathcal{X}$ enthält, dann enthält auch jedes nichttriviale Element aus dem normalen Abschluss von $v$ in $F$ das Basiselement $x$. Äquivalent zu dieser Aussage ist, dass die von $\mathcal{X} \backslash \{x\}$ erzeugte freie Gruppe kanonisch in die Faktorgruppe $F / \langle \! \langle v \rangle \! \rangle_{F}$ einbettet. Allgemein verstehen wir unter einem \emph{Freiheits-} oder \emph{Einbettungssatz} für eine Gruppe $H$ einen Satz, welcher unter bestimmten Voraussetzungen an $H$, an eine Untergruppe $U \subset H$ sowie an ein Element $w \in H$ die kanonische Einbettung von $U$ in $H / \langle \! \langle w \rangle \! \rangle_{H}$ liefert. In den letzten Jahrzehnten wurden nicht nur viele weitere Gruppen auf Magnus-Eigen\-schaft untersucht, sondern es entstanden auch weitere Freiheitssätze. In dieser Arbeit zeigen wir analog zum Beweis des Adian--Rabin-Satzes die algorithmische Unentscheidbarkeit der Magnus-Eigenschaft für endlich präsentierbare, torsionsfreie Gruppen. Als natürliche Verallgemeinerung der Hauptresultate von \cite{ArtOneRel} und \cite{ArtMyMAP} beweisen wir die Magnus-Eigenschaft der Gruppen $(G \ \ast_{u=[a,b]} \ F(a,b)) \times C$, wobei $G$ eine indizierbare sowie lokal indizierbare Gruppe, $u$ ein nichttriviales Element aus $G$ und $C$ eine (möglicherweise triviale) Gruppe seien, so dass $G \times C$ die Magnus-Eigenschaft besitzt. Dazu führen wir eine leichte Verallgemeinerung des Freiheitssatzes von J. Howie ein und erweitern ein Resultat von M. Edjvet auf eine größere Klasse von Gruppen. In diesem Zusammenhang beweisen wir mithilfe der elementaren Theorie von Gruppen (im Sinne der Modelltheorie) die Magnus-Eigenschaft aller direkten Produkte von Limesgruppen mit der Magnus-Eigenschaft. Als Weiterentwicklung des Freiheitssatzes von Magnus beweisen wir einen Einbettungssatz für amalgamierte Produkte zweier freier Gruppen über eine maximale zyklische Untergruppe beider Faktoren. Dafür definieren und untersuchen wir mithilfe der Freiheitssätze von W. Magnus und J.~Howie komplexere amalgamierte Produkte, welche wir \emph{Baumprodukte} nennen. Das Buch \glqq Seifert Manifolds\grqq \ von P. Orlik enthält eine Klassifikation aller Fundamentalgruppen von Seifert-Mannigfaltigkeiten. Unter den Invarianten der Klassifikation befinden sich das Geschlecht $g$ und die Zahl $r$, welche als Anzahl der bei der Konstruktion der Seifert-Mannigfaltigkeit eingeklebten, nichttrivial gefaserten Tori verstanden werden kann. Unter Verwendung der Theorie kleiner Kürzungen zeigen wir u.\,a., dass keine Fundamentalgruppe einer orientierbaren Seifert-Mannigfaltigkeit mit $g,r \geqslant 1$ oder $r \geqslant 4$ die Magnus-Eigenschaft besitzt.The aim of this thesis is the examination of various groups for Magnus property as well as the development of embedding theorems. A group $G$ possesses the Magnus property if for every two elements $r$, $s \in G$ with the same normal closure in $G$, $r$ is conjugate in $G$ to $s$ or $s^{-1}$. The Magnus property was named after W. Magnus who showed, in 1930, that this property holds for free groups of arbitrary rank. In the same thesis W. Magnus proved the so-called \emph{Freiheitssatz}: Let $F$ be a free group with basis $\mathcal{X}$ and let $v$ be a cyclically reduced element of $F$ which contains a basis element $x \in \mathcal{X}$, then every non-trivial element of the normal closure of $v$ in $F$ contains the basis element $x$. Equivalently, the subgroup freely generated by $\mathcal{X} \backslash \{x\}$ embeds canonically into the quotient group $F / \langle \! \langle v \rangle \! \rangle_{F}$. In general, we call some theorem a \emph{Freiheitssatz} or an \emph{embedding theorem} for a group $H$ if, under certain conditions on $H$, on a subgroup $U \subset H$ and on an element $w \in H$, it gives us the canonical embedding of $U$ in $H / \langle \! \langle w \rangle \! \rangle_{H}$. Over the last decades, not only was the Magnus property of many more groups examined, but also further embedding theorems were developed. In this thesis we show that the Magnus property is algorithmically undecidable for finitely presentable, torsion-free groups. Our proof is analogous to the proof of the Adian--Rabin Theorem. As a natural generalisation of the main theorems in \cite{ArtOneRel} and \cite{ArtMyMAP} we prove the Magnus property for the groups $(G \ \ast_{u=[a,b]} \ F(a,b)) \times C$, where $G$ is an indicable as well as locally indicable group, $u$ is a non-trivial element of $G$ and $C$ is a (possibly trivial) group such that $G \times C$ possesses the Magnus property. For this purpose we slightly generalise the Freiheitssatz of J. Howie and expand a theorem of M. Edjvet on a larger class of groups. In this context we prove the Magnus property for all direct products of limit groups that possess the Magnus property by using the elementary theory of groups (in the sense of model theory). As an advancement of the Freiheitssatz of Magnus we prove an embedding theorem for free products of two free groups with amalgamation over a maximal cyclic group in both factors. For this purpose we define and examine, with the help of the embedding theorems by W.~Magnus and J.~Howie, more complex amalgamated products which we call ``Baumprodukte''. In the book ``Seifert Manifolds'' by P. Orlik, there is a classification of all fundamental groups of Seifert manifolds. Among the invariants of that classification, we find the genus $g$ and the number $r$ which can be understood as the number of non-trivial fibered tori that are used for constructing the Seifert manifold. Applying small cancellation theory, we show for instance that no fundamental group of oriented Seifert manifolds with $g,r \geqslant 1$ or $r \geqslant 4$ possesses the Magnus property. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik | |||||||
| Dokument erstellt am: | 24.06.2020 | |||||||
| Dateien geändert am: | 24.06.2020 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 15.01.2020 | |||||||
| Datum der Promotion: | 29.05.2020 |
