Dokument: Exponentielle
Integratoren als
Lange-Zeitschritt-Verfahren für
oszillatorsiche Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Titel:	Exponentielle Integratoren als Lange-Zeitschritt-Verfahren für oszillatorsiche Differentialgleichungen zweiter Ordnung
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=2164
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20020709-000164-0
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Deutsch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Grimm, Volker [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 1,05 MB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 09.02.2007 / geändert 09.02.2007
Beitragende:	Prof. Dr. Hochbruck, Marlis [Gutachter] Prof. Dr. Lubich, Christian [Gutachter] Prof. Dr. Witsch, Kristian [Gutachter]
Stichwörter:	OszillatorischeDifferentialgleichung,oszillatorische Lösung, exponentieller Integrator, Fehlerschranken,Numerik, MoleküldynamikOscillatory differential equations,oscillatory solutions, exponential integrators, error bounds, numericalanalysis, molecular dynamics
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibung:	Die Moleküldynamik-Simulation ist ein aktuelles Forschungsgebiet, das in den letzten Jahren ständig an Bedeutung gewonnen hat. Die klassische Moleküldynamik ist momentan die wichtigste Möglichkeit über das dynamische Verhalten großer Moleküle Erkenntnisse zu gewinnen. Die Herausforderungen auf diesem Gebiet sind dabei nicht gering. Die Moleküldynamik-Simulationen umfassen mehrere Zeitskalen, die von einer Femtosekunde bis zu Minuten bei der Faltung großer Moleküle reichen und in derselben Simulation auftreten. Häufig sind erst Zeitskalen im Bereich von Pikosekunden für die Interpretation der Daten interessant, und es würde genügen, die Lösung auf einem Gitter dieser Größe zu kennen. Im mathematischen Modell spiegelt sich dieser Umstand dadurch wieder, dass die Lösung hochfrequente Lösungskomponenten mit kleiner Amplitude besitzt, wobei die Lösung häufig nur auf einem Gitter mit einer Zeitschrittweite h gesucht wird, für die h multipliziert mit der höchsten im System auftretenden Frequenz viel größer als 1 ist. Differentialgleichungen diesen Typs werden oszillatorische Differentialgleichungen genannt. Wegen ihrer Bedeutung nicht nur in der Moleküldynamik sind oszillatorische Differentialgleichungen in den letzten Jahren zunehmend ins Zentrum des Interesses gerückt. Das Standard-Verfahren zur numerischen Integration dieser Differentialgleichungen ist das Verlet-Schema. Dieses Verfahren ist einfach zu implementieren, funktioniert bei kleiner Schrittweite sehr gut, benötigt aber viel zu viele Schritte, um oszillatorische Differentialgleichungen über längere Zeitintervalle numerisch effizient lösen zu können. Das liegt daran, dass die hohen Frequenzen bei der numerischen Integration einer oszillatorischen Differentialgleichung von dem Verlet-Schema vollständig aufgelöst werden müssen, damit das Verfahren eine korrekte Lösung liefert. Dasselbe Verhalten zeigen alle bekannten Verfahren wie explizite und implizite Runge-Kutta-Verfahren sowie Mehrschrittverfahren. Mit diesen Verfahren können viele Phänomene, die auf gröberen Zeitskalen ablaufen, obwohl auf diesem Gebiet Rechenzeiten in der Größenordnung von Monaten nicht unüblich sind, nicht beobachtet werden. Wünschenswert sind numerische Integrationsverfahren (sog. Integratoren), die der Schrittweiteneinschränkung nicht unterliegen und damit weniger rechenaufwändig sind. In den letzten fünf Jahren wurden Lange-Zeitschritt-Integratoren entwickelt. Damit werden Verfahren bezeichnet, die Fehlerabschätzungen unabhängig von der Glattheit der Lösung zulassen und die die Lösung auf einem Gitter mit Zeitschrittweite h, wobei h multipliziert mit der höchsten im System auftretenden Frequenz viel größer 1 ist, berechnen können. Als einzige Voraussetzung wird dabei gefordert, dass das System beschränkte Energie hat, eine physikalisch plausible Bedingung. Ähnlich wie bei der Theorie zur numerischen Integration steifer Systeme, erfordert auch die Analyse von Verfahren für oszillatorische Probleme völlig neue mathematische Techniken. Die Ursache hierfür liegt in der nichtglatten exakten Lösung der Differentialgleichung, die die Verwendung der Taylorentwicklung derselben unmöglich macht. Diese neuen Techniken geben gleichzeitig Aufschluss über die Konstruktion neuer Lange-Zeitschritt-Integratoren. Bisher sind Lange-Zeitschritt-Integratoren nur für Differentialgleichungen bekannt, bei denen die hohen Frequenzen aus einem zeitunabhängigen linearen Anteil resultieren. Diese Integratoren erfordern die Berechnung des Produkts einer analytischen Funktion ausgewertet an einer mit der Zeitschrittweite skalierten symmetrischen Matrix mit einem Vektor. Diese können zum Beispiel mit Krylov-Unterraumverfahren approximiert werden. Da die auftretende analytische Funktion mit Hilfe der Exponentialfunktion dargestellt werden kann, wurd auch von exponentiellen Integratoren gesprochen. Ziel dieser Arbeit ist es, Lange-Zeitschritt-Verfahren für eine allgemeinere Klasse von oszillatorischen Problemen zu konstruieren und zu analysieren, denn in den Problemen aus der Moleküldynamik erweist sich die oben genannte Einschränkung auf zeitunabhängige lineare Anteile als zu strikt. Es soll jedoch weiterhin nur die physikalisch sinnvolle Voraussetzung der beschränkten Energie gefordert werden, so dass die Ergebnisse auch praktisch relevant sind.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik
Dokument erstellt am:	09.07.2002
Dateien geändert am:	12.02.2007
Promotionsantrag am:	09.07.2002
Datum der Promotion:	09.07.2002