Dokument: Exponentielle
Integratoren als
Lange-Zeitschritt-Verfahren für
oszillatorsiche Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Titel:Exponentielle
Integratoren als
Lange-Zeitschritt-Verfahren für
oszillatorsiche Differentialgleichungen zweiter Ordnung
URL für Lesezeichen:https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=2164
URN (NBN):urn:nbn:de:hbz:061-20020709-000164-0
Kollektion:Dissertationen
Sprache:Deutsch
Dokumententyp:Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:Text
Autor: Grimm, Volker [Autor]
Dateien:
[Dateien anzeigen]Adobe PDF
[Details]1,05 MB in einer Datei
[ZIP-Datei erzeugen][PlugIn/Viewer Download]
Dateien vom 09.02.2007 / geändert 09.02.2007
Beitragende:Prof. Dr. Hochbruck, Marlis [Gutachter]
Prof. Dr. Lubich, Christian [Gutachter]
Prof. Dr. Witsch, Kristian [Gutachter]
Stichwörter:OszillatorischeDifferentialgleichung,oszillatorische Lösung, exponentieller Integrator, Fehlerschranken,Numerik, MoleküldynamikOscillatory differential equations,oscillatory solutions, exponential integrators, error bounds, numericalanalysis, molecular dynamics
Dewey Dezimal-Klassifikation:500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibung:Die Moleküldynamik-Simulation ist ein aktuelles Forschungsgebiet, das

in den letzten Jahren ständig an Bedeutung gewonnen hat. Die
klassische Moleküldynamik ist momentan die wichtigste
Möglichkeit über das dynamische Verhalten großer
Moleküle Erkenntnisse zu gewinnen. Die Herausforderungen auf diesem
Gebiet sind dabei nicht gering. Die Moleküldynamik-Simulationen
umfassen mehrere Zeitskalen, die von einer Femtosekunde bis zu Minuten
bei der Faltung großer Moleküle reichen und in derselben
Simulation auftreten. Häufig sind erst Zeitskalen im Bereich von
Pikosekunden für die Interpretation der Daten interessant, und es
würde genügen, die Lösung auf einem Gitter dieser
Größe zu kennen.

Im mathematischen Modell spiegelt sich dieser Umstand dadurch wieder,
dass die Lösung hochfrequente Lösungskomponenten mit kleiner
Amplitude besitzt, wobei die Lösung häufig nur auf einem Gitter
mit einer Zeitschrittweite h gesucht wird, für die h multipliziert
mit der höchsten im System auftretenden Frequenz viel
größer als 1 ist. Differentialgleichungen diesen Typs werden
oszillatorische Differentialgleichungen genannt. Wegen ihrer Bedeutung
nicht nur in der Moleküldynamik sind oszillatorische
Differentialgleichungen in den letzten Jahren zunehmend ins Zentrum des
Interesses gerückt.

Das Standard-Verfahren zur numerischen Integration dieser
Differentialgleichungen ist das Verlet-Schema. Dieses Verfahren ist
einfach zu implementieren, funktioniert bei kleiner Schrittweite sehr
gut, benötigt aber viel zu viele Schritte, um oszillatorische
Differentialgleichungen über längere Zeitintervalle numerisch
effizient lösen zu können. Das liegt daran, dass die hohen
Frequenzen bei der numerischen Integration einer oszillatorischen
Differentialgleichung von dem Verlet-Schema vollständig
aufgelöst werden müssen, damit das Verfahren eine korrekte
Lösung liefert. Dasselbe Verhalten zeigen alle bekannten Verfahren
wie explizite und implizite Runge-Kutta-Verfahren sowie
Mehrschrittverfahren. Mit diesen Verfahren können viele
Phänomene, die auf gröberen Zeitskalen ablaufen, obwohl auf
diesem Gebiet Rechenzeiten in der Größenordnung von Monaten
nicht unüblich sind, nicht beobachtet werden. Wünschenswert
sind numerische Integrationsverfahren (sog. Integratoren), die der
Schrittweiteneinschränkung nicht unterliegen und damit weniger
rechenaufwändig sind.

In den letzten fünf Jahren wurden Lange-Zeitschritt-Integratoren
entwickelt. Damit werden Verfahren bezeichnet, die
Fehlerabschätzungen unabhängig von der Glattheit der
Lösung zulassen und die die Lösung auf einem Gitter mit
Zeitschrittweite h, wobei h multipliziert mit der höchsten im System
auftretenden Frequenz viel größer 1 ist, berechnen
können. Als einzige Voraussetzung wird dabei gefordert, dass das
System beschränkte Energie hat, eine physikalisch plausible
Bedingung.

Ähnlich wie bei der Theorie zur numerischen Integration steifer
Systeme, erfordert auch die Analyse von Verfahren für
oszillatorische Probleme völlig neue mathematische Techniken. Die
Ursache hierfür liegt in der nichtglatten exakten Lösung der
Differentialgleichung, die die Verwendung der Taylorentwicklung derselben
unmöglich macht. Diese neuen Techniken geben gleichzeitig Aufschluss
über die Konstruktion neuer Lange-Zeitschritt-Integratoren.

Bisher sind Lange-Zeitschritt-Integratoren nur für
Differentialgleichungen bekannt, bei denen die hohen Frequenzen aus einem
zeitunabhängigen linearen Anteil resultieren. Diese Integratoren
erfordern die Berechnung des Produkts einer analytischen Funktion
ausgewertet an einer mit der Zeitschrittweite skalierten symmetrischen
Matrix mit einem Vektor. Diese können zum Beispiel mit
Krylov-Unterraumverfahren approximiert werden. Da die auftretende
analytische Funktion mit Hilfe der Exponentialfunktion dargestellt werden
kann, wurd auch von exponentiellen Integratoren gesprochen.

Ziel dieser Arbeit ist es, Lange-Zeitschritt-Verfahren für eine
allgemeinere Klasse von oszillatorischen Problemen zu konstruieren und zu
analysieren, denn in den Problemen aus der Moleküldynamik erweist
sich die oben genannte Einschränkung auf zeitunabhängige
lineare Anteile als zu strikt. Es soll jedoch weiterhin nur die
physikalisch sinnvolle Voraussetzung der beschränkten Energie
gefordert werden, so dass die Ergebnisse auch praktisch relevant sind.
Fachbereich / Einrichtung:Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik
Dokument erstellt am:09.07.2002
Dateien geändert am:12.02.2007
Promotionsantrag am:09.07.2002
Datum der Promotion:09.07.2002
english
Benutzer
Status: Gast
Aktionen