Dokument: Skalierungslimiten von Irrfahrten in stetiger Zeit mittels markierter Punktprozesse
| Titel: | Skalierungslimiten von Irrfahrten in stetiger Zeit mittels markierter Punktprozesse | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=21406 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20120524-111738-4 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Dr. Barczyk, Adam [Autor] | |||||||
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| Beitragende: | Prof. Dr. Kern, Peter Franz [Gutachter] Prof. Dr. Scheffler, Hans-Peter [Gutachter] | |||||||
| Stichwörter: | Continuous time random walk | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | Betrachtet man Folgen unabh\"angig identisch verteilter (i.i.d.), $\mathbb R^+$-wertiger Zufallsvariablen
$(J_n)_{n \in \mathbb N}$ und i.i.d., $\mathbb R^d$-wertiger Zufallsvariablen $(\X_n)_{n \in \mathbb N}$, so versteht man unter einer Irrfahrt in stetiger Zeit oder auch Continuous Time Random Walk eine klassische Irrfahrt $S_n := \sum_{k=1}^n \X_k$, welche dem Erneuerungsprozess $N_t:= \max\{n \in \mathbb N_0 : \sum_{k=1}^n J_k \leq t\}$ subordiniert wird, d.h. man betrachtet den stochastischen Prozess $\sum_{k=1}^{N_t} \X_k$. Werden die Folgen $(J_n)_{n \in \mathbb N}$ und $(\X_n)_{n \in \mathbb N}$ als stochastisch unabh\"angig vorausgesetzt, so spricht man von einem ungekoppelten Continuous Time Random Walk, w\"ahrend man bei der gekoppelten Variante eine Abh\"angigkeitsstruktur zwischen diesen Folgen unterstellt. Diese Arbeit befasst sich mit einer systematischen Untersuchung von Skalierungslimiten ungekoppelter sowie gekoppelter Continuous Time Random Walks, indem ein neuartiger Zugang mittels der Theorie markierter Punktprozesse genutzt wird. Dieser Zugang erlaubt ein besseres Verst\"andnis dieser stochastischen Prozesse, da jede Sprungstelle mit der sich dort ereignenden Spr\"ungh\"ohe einzeln betrachtet werden kann. Auf diese Weise ist es m\"oglich das Auftreten der unterschiedlichen Skalierungslimiten bei R\"uckw\"arts- und Vorw\"artskopplung in den Arbeiten von Henry und Straka (2010) sowie Jurlewicz et al. (2011) erstmals zufriedenstellend zu erkl\"aren. Durch die Einf\"uhrung eines stetigen Summationsfunktionals wird die Konvergenz von ungekoppelten Irrfahrten aus der Konvergenz gewisser zugeh\"origer markierter Punktprozesse hergeleitet. In diesem Fall lassen sich die Verteilungslimiten dieser Punktprozesse mit Standardmethoden bestimmen, indem eine stetige Zeitdeformation verwendet wird. Die auf diese Weise bestimmten Skalierungslimiten werden mit Hilfe einer Reihendarstellung angegeben, welche f\"ur Simulationszwecke geeignet ist. Da die resultierenden Prozesse keine L\'evyprozesse sind, ist bisher kein Simulationsalgorithmus bekannt. Im gekoppelten Fall wird die Konvergenz der zugeh\"origen Punktprozesse mit Hilfe statistischer Methoden \"uber eine Konvergenzuntersuchung der einzelnen Punkte nachgewiesen, da die verwendete Zeitdeformation nicht mehr stetig ist. Es stellt sich heraus, dass ein starker Zusammenhang zur Theorie von extremen Orderstatistiken besteht, wie er bereits f\"ur skalierte, reelle Partialsummen, die gegen eine unendlich teilbare Zufallsvariable ohne Normalverteilungsanteil konvergieren, bekannt ist, vgl. Barczyk, Janssen und Pauly (2011). Aufgrund dessen wird auch die noch offene Fragestellung nach der Konvergenz residualer Orderstatistiken bei LePage (1981) diskutiert und beantwortet. Anschlie{\ss}end findet eine Untersuchung der gemeinsamen Konvergenz von gekoppelten Irrfahrten und deren betragsm\"a{\ss}ig gr\"o{\ss}ten Spr\"ungen statt. Diese Betrachtung erweitert die Ergebnisse einer Arbeit von Schumer, Baeumer und Meerschaert (2010), indem sie eine geschlossene Darstellung des Skalierungslimes bereitstellt.Given an i.i.d. sequence $(J_n)_{n \in \mathbb N} $ of $\mathbb R^+$-valued random variables and an sequence $(\X_n)_{n \in \mathbb N} $ of i.i.d. $\mathbb R^d$-valued random variables a continuous time random walk is a renewal process $N_t := \max\{ n \in \mathbb N_0 : \sum_{k=1}^n J_k \leq t\}$ subordinated to the random walk $S_n := \sum_{k=1}^n \X_k$, i.e. one studies the process $\sum_{k=1}^{N_t} \X_k$. The process is called uncoupled if the sequences $(J_n)_{n \in \mathbb N}$ and $(\X_n)_{n \in \mathbb N}$ are stochastically independent. Otherwise one speaks of coupled continuous time random walks. In this thesis scaling limits of uncoupled and coupled continuous time random walks are studied in a systematic way using a marked point process approach. By marking each jump with its occurring amplitude every point can be studied separately, which leads to a better understanding of these processes. In this way it can be explained for the first time why the different scaling limits occur if a forward- or backward-coupling structure is used as in the articles of Henry and Straka (2011) and Jurlewicz et al. (2011). By introducing a continuous summation functional the convergence of uncoupled random walks is deduced from the convergence of certain associated marked point processes. Using a continuous time deformation the convergence of these point processes can be studied with standard methods. The resulting scaling limits are given by a series representation which is of its own interest for simulation purposes. Since the resulting limit processes are not L\'evy processes, no simulation algorithm is known yet. In the coupled case the convergence of the associated marked point processes is studied with statistical methods by analyzing the points of the point process, because the time deformation is not continuous any more. It turns out that there is a strong connection to the theory of extreme order statistics. This connection is already known for real valued scaled partial sums which converge to an infinitely divisible random variable without Gaussian part, cf. Barczyk, Janssen and Pauly (2011). Because of this connection LePage's (1981) open problem of the convergence of residual order statistics is solved. Motivated by this connection also the joint convergence of coupled continuous time random walks and the biggest absolut value of its jumps is studied. This last part complements results of an article by Schumer, Baeumer and Meerschaert (2010), presenting a closed form of the scaling limit. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät | |||||||
| Dokument erstellt am: | 24.05.2012 | |||||||
| Dateien geändert am: | 24.05.2012 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 14.12.0011 | |||||||
| Datum der Promotion: | 25.04.0012 |
