Dokument: Über die Semicharakteristik Homogener Räumer
| Titel: | Über die Semicharakteristik Homogener Räumer | |||||||
| Weiterer Titel: | On the Semicharacteristic of homogeneous spaces | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=18351 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20110601-100257-8 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Löffelsend, Christian [Autor] | |||||||
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| Beitragende: | Prof. Dr. Singhof, Wilhelm [Gutachter] Dr. Szymik, Markus [Gutachter] | |||||||
| Stichwörter: | Semicharactersic, homogeneous spaces, eilenberg-moore, spectral sequence, bar-complex, koszul-complex, spin | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | Sei $X$ eine geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $2n+1$ und $\mathbb{F}$ ein Körper. Wir definieren die $\mathbb{F}$-Semicharakteristik als
\[k(X;\mathbb{F})=\sum_{i=0}^n\dim_\mathbb{F}\h^i(X;\mathbb{F}) \mod 2.\] Die $\mathbb{F}$-Semicharakteristik nimmt also die Werte $0$ oder $1$ an; sie ist im Gegensatz zur Euler-Charakteristik abhängig von der Wahl des Körpers $\mathbb{F}$. Kervaire zeigte, dass $X$ parallelisierbar ist, genau dann wenn $X$ stabil parallelisierbar ist und $k(X;\mathbb{F}_2)=0$ gilt. Sei $G$ ein kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe und sei $H$ eine abgeschlossene Untergruppe. In den bekannten Fällen ist die $\mathbb{F}$-Semicharakteristik von $G/H$, für $\dim G/H$ ungerade, fast immer Null. Diese Arbeit setzt die Untersuchung der $\mathbb{F}$-Semicharakteristik von $G/H$ fort. Der Fokus liegt dabei hauptsächlich auf dem geometrischen interessanten Fall $\mathbb{F}=\mathbb{F}_2$, aber auch die Fälle der $\mathbb{F}_p$- und der $\mathbb{R}$-Semicharakteristik werden behandelt. Wir widmen uns in dieser Arbeit zwei Fragestellungen: Bricht die Eilenberg-Moore-Spektralsequenz mit Koeffizienten in $\mathbb{F}$ zur Faserung $G/H\to BH\to BG$ zusammen? Und verschwindet die $\mathbb{F}$-Semicharakteristik von $G/H$? Eine positive Antwort auf die erste Frage lässt uns $\h^*(G/H;\mathbb{F})$ besser verstehen und erleichtert so die Beantwortung der zweiten. Wir werden jedoch hauptsächlich Fälle betrachten, in denen wir nur die zweite Frage beantworten können. Viele bekannte Arbeiten zeigen, dass die erste Frage häufig, aber bei weitem nicht immer eine positive Antwort besitzt. Wir werden die Frage in weiteren noch unbekannten Fällen beantworten können und Fälle aufführen, in denen die Spektralsequenz sicher nicht zusammenbricht; namentlich, wenn $G=Spin(n)$, mit $n\geq 10$ gilt. Wir erarbeiten meist technische Bedingungen, die zum Zusammenbruch der Spektralsequenz führen und die häufig in der von uns betrachteten Situation erfüllt sind. Die zweite Fragestellung betrachtend, versuchen wir den $E_2$-Term der Eilenberg-Moore-Spektralsequenz zu verstehen. Im Zuge dieser Arbeit gelangen wir dann zu tieferem Verständnis der Differentiale der Spektralsequenz und können so den $E_\infty$-Term besser verstehen. Mit diesen neuen Methoden können wir bekannte Resultate vervollständigen und eine Vielzahl neuer Fälle ergründen: Die $\mathbb{F}_2$-Semicharakteristik von $G/H$ verschwindet, wenn $\dim G/H$ ungerade ist, $H$ eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe ist und eine der folgenden, hinreichenden Bedingungen gilt: \begin{itemize} \item $G=SU(n)$ und $H$ ist eine abgeschlossene Untergruppe von $G$, mit $(n-\Rang H)$ ist größer als $2$. \item $G=Sp(n)$ oder $SO(n)$ und $H$ ist das Bild einer irreduziblen, symplektischen bzw. reellen Darstellung einer Lie-Gruppe, mit $\Rang H \geq 4$. \item $H'$ sei eine abgeschlossene Untergruppe von $Sp(2n+1)$, mit $-1\notin H'$ und $H$ sei die durch die Projektion induzierte Untergruppe in $G:=PSp(2n+1)$. \item $H$ sei eine abgeschlossene Untergruppe von $SU(n)\subset Spin(2n)=:G$. \end{itemize}Let $X$ be a closed orientable manifold of dimension $2n+1$ and $\mathbb{F}$ a field. We define the $\mathbb{F}$-semicharacteristic by \[k(X;\mathbb{F})=\sum_{i=0}^n\dim_\mathbb{F}\h^i(X;\mathbb{F}) \mod 2.\] The $\mathbb{F}$-semicharacteristic takes values in $0$ and $1$; in contrast to the Euler-characteristic it depends on the choice of the field $\mathbb{F}$. Kervaire showed, that $X$ is parallelizable, if and only if $X$ is stably parallelizable and $k(X;\mathbb{F}_2)=0$. Let $G$ be a compact, connected Lie group and $H$ a closed Lie subgroup. In known cases for $\dim G/H$ odd the $\mathbb{F}$-semicharacteristic of $G/H$ almost always is zero. This thesis continues the investigation on the $\mathbb{F}$-semicharacteristic of $G/H$. It is focused upon mainly the case $\mathbb{F}=\mathbb{F}_2$, but the cases of the $\mathbb{F}_p$ and $\mathbb{R}$-semicharacteristic are also treated. This thesis addresses two Problems: Does the Eilenberg-Moore spectral sequence associated to the fibre bundle $G/H\to BH\to BG$ with coefficients in $\mathbb{F}$ collapse? And does the $\mathbb{F}$-semicharacteristic of $G/H$ vanish? A positive answer to the first question lets us understand $\h^*(G/H;\mathbb{F})$ better and it makes the second question easier to answer. But we will mainly treat cases in which we only can answer the second question. Many known results show that often there is a positive answer to the first question. We will give an answer to this question in cases unknown so far and will give examples where the spectral sequence will not collapse; one particular case being $G=Spin(n)$, for $n\geq 10$. We will develop technical conditions which lead to the collapse of the spectral sequence and are often fulfilled in the given situations. With a look upon the second question, we try to understand the $E_2$-page of the Eilenberg-Morre spectral sequence better. In the course of this thesis we will get a deeper understanding of the differentials of the spectral sequence and so will learn more about the $E_\infty$-page. With these new techniques we can complete known results and answer a variety of new cases: The $\mathbb{F}_2$-semicharacteristic vanishes if $\dim G/H$ is odd, $H$ is a compact, connected Lie group and one of the following sufficient conditions is fullfilled: \begin{itemize} \item $G=SU(n)$ and $H$ is a closed subgroup of $G$, with $(n-\rank H)$ is bigger than $2$. \item $G=Sp(n)$ or $SO(n)$ and $H$ is the image of a real resp. symplectic, irreducible representation of a Lie group of $\rank H \geq 4$. \item Let $H'$ be a closed subgroup of $Sp(2n+1)$, with $-1\notin H'$ and let $H$ be the subgroup induced by the projection onto $G:=PSp(2n+1)$. \item Let $H$ be a closed subgroup of $SU(n)\subset Spin(2n)=:G$. \end{itemize} | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Topologie | |||||||
| Dokument erstellt am: | 01.06.2011 | |||||||
| Dateien geändert am: | 01.06.2011 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 19.04.2011 | |||||||
| Datum der Promotion: | 25.05.2011 |
