Dokument: Das exponentielle Euler-Verfahren zur Regularisierung schlecht gestellter Probleme

Titel:	Das exponentielle Euler-Verfahren zur Regularisierung schlecht gestellter Probleme
Weiterer Titel:	The exponential Euler scheme as regularization method for ill-posed problems
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=10063
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20090112-122337-5
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Deutsch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Hönig, Michael [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 39,77 MB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 07.01.2009 / geändert 07.01.2009
Beitragende:	Prof. Dr. Hochbruck, Marlis [Gutachter] Prof. Dr. Martin Hanke-Bourgeois [Gutachter]
Stichwörter:	schlecht gestellte Probleme, inverse Probleme, Regularisierung, exponentielle Integratoren, ill-posed problems, inverse problems, regularization, exponential integrators
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	In dieser Arbeit wird das exponentielle Euler-Verfahren zur Regularisierung linearer und nichtlinearer schlecht gestellter Probleme vorgestellt und untersucht. Nach einer kurzen Einführung wird im ersten Teil, ausgehend vom Showalter-Anfangswertproblem, das exponentielle Euler-Verfahren zur Regularisierung linearer schlecht gestellter Probleme hergeleitet. Die Ordnungsoptimalität dieses Verfahrens wird durch einen neuen kurzen Beweis gezeigt. Ferner wird erläutert, wie das Verfahren mittels Krylov-Unterraum-Verfahren effizient implementiert werden kann. Den Abschluss des ersten Teils bilden dann numerische Beispiele, welche die theoretischen Ergebnisse validieren und die Konkurrenzfähigkeit dieses Regularisierungsverfahrens gegenüber einem Standardverfahren darlegen. Im zweiten Teil der Arbeit wird das Verfahren aus Teil Eins verallgemeinert zu einem vereinfachten exponentiellen Euler-Verfahren für nichtlineare schlecht gestellte Probleme. Dabei bildet die nichtlineare Version des Showalter-Anfangswertproblems den Ausgangspunkt. Unter Voraussetzung der Tangentialkegelbedingung und der Verwendung eines geeigneten Diskrepanzprinzips zur Bestimmung der Schrittweiten, wird die Konvergenz dieses Verfahrens bei exakten und gestörten Daten nachgewiesen. Im Anschluss daran wird die Ordnungsoptimalität des Verfahrens unter den gleichen schwachen Voraussetzungen, unter denen die entsprechende Aussage für die asymptotische Regularisierung gezeigt wurde, bewiesen. Dabei wird nur eine Beschränkung des Schrittweitenwachstums gefordert. Dagegen sind variable Schrittweiten erlaubt. Das Verfahren wird in die bestehende Literatur eingeordnet und insbesondere wird die Verbindung zu inexakten Newton-Verfahren erläutert. Danach wird eine effiziente Implementierung durch Krylov-Unterraum-Verfahren vorgestellt. Auch der zweite Teil wird mit numerischen Beispielen abgeschlossen. Die untersuchten Parameteridentifikationsprobleme reflektieren die Konvergenz und Ordnungoptimalität des Verfahrens und ein Vergleich mit Standardverfahren zeigt die Wettbewerbsfäigkeit des exponentiellen Euler-Verfahrens. This thesis considers the exponential Euler scheme as a regularization method for linear and nonlinear ill-posed problems. After a short introduction, the exponential Euler scheme as regularization method for linear ill-posed problems is derived from the Showalter initial value problem. A new short proof of the orderoptimality of this method is presented. It is shown that this method can be efficiently implemented using Krylov subspace methods. The first part of this thesis is closed by numerical experiments which reflect the theoretical results and show the competitiveness of this regularization method. The second part of this thesis considers nonlinear ill-posed problems. The exponential Euler method from part one is generalized for nonlinear ill-posed problems, based on the nonlinear version of the Showalter initial value problem. Under the tangential cone condition and a suitable discrepancy principle, the method is shown to be convergent for exact and noisy data. Furthermore it is proved that the method converges with optimal order under the same assumptions that are needed for the continuous case. The presented convergence analysis admits variable stepsizes under a moderate restriction to the growth of the stepsizes. The connection to inexact Newton iterations is discussed. We close the second part with numerical experiments. Two parameter identification problems reflect convergence and orderoptimality of the method and a comparison with standard regularization schemes shows the competitiveness of the exponential Euler method.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Angewandte Mathematik
Dokument erstellt am:	12.01.2009
Dateien geändert am:	07.01.2009
Promotionsantrag am:	25.11.2008
Datum der Promotion:	19.12.2008