Dokument: Die Blätterungskohomologie von Knotenblätterungen der Sphären
| Titel: | Die Blätterungskohomologie von Knotenblätterungen der Sphären | |||||||
| Weiterer Titel: | The foliation cohomology of knot foliations on spheres | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=8414 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20080716-105346-8 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Maßberg, Sarah [Autor] | |||||||
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| Beitragender: | Prof. Dr. Singhof, Wilhelm [Betreuer/Doktorvater] | |||||||
| Stichwörter: | Kohomologie, Blätterung, gefaserter Knoten | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | Eine Blätterung F der Kodimension q einer Mannigfaltigkeit M ist eine Zerlegung von M in disjunkte, zusammenhängende (n-q)-Untermannigfaltigkeiten (Blätter), die lokal wie eine Zerlegung in parallele (n-q)-Ebenen aussieht. Für alle Sphären ungerader Dimension können (Kodimension 1)-Blätterungen konstruiert werden, indem man die berühmte Reebblätterung der 3-Sphäre auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Dazu verwendet man sogenannte gefaserte Knoten der Sphären und eine tangentiale Verklebung von Teilblätterungen. So entstandene Blätterungen der Sphären heißen dann Knotenblätterungen.
Die Blätterungskohomologie einer geblätterten Mannigfaltigkeit ist eine Abwandlung der deRham-Kohomologie, wobei Differentialformen und Differential nur entlang der Blätter gebildet werden. Im Vergleich zur deRham-Kohomologie besitzt die Blätterungskohomologie eine wesentlich komplexere Struktur, da z.B. die einzelnen Kohomologieräume nicht mehr endlichdimensional sein müssen. Es werden einige wichtige Resultate zur deRham-Kohomologie, insbesondere der Satz von Mayer-Vietoris, auf den geblätterten Fall verallgemeinert und für Kohomologieberechnungen auf den knotengeblätterten Sphären herangezogen. Aufgrund der speziellen Konstruktion von Knotenblätterungen müssen außerdem weitere Abwandlungen der Blätterungskohomologie eingeführt und untersucht werden. In der Frage der Dimensionen der Blätterungskohomologieräume als entscheidendem Merkmal ihrer Vektorraumstruktur kommt man zu dem Ergebnis, dass in allen Graden, in denen die um 1 nach unten geshiftete Kohomologie des gefaserten Knotens nicht trivial ist, die Kohomologie der Knotenblätterungen der Sphären unendlichdimensional ist.A foliation F of codimension q on a manifold M is a decomposition of M into disjoint connected (n-q)-submanifolds that locally looks like a decomposition into parallel (n-q)-planes. For all spheres in odd dimensions codimension 1 foliations can be constructed by a generalization of the famous Reeb foliation on the 3-sphere to higher dimensions. For this one uses so-called fibered knots of the spheres and tangential gluing of partial foliations. These foliations on spheres are then called knot foliations. The foliation cohomology of a foliated manifold is a modification of the deRham cohomology where the differential forms and the differential are only built up along the leaves. In comparison to the deRham cohomology, the foliation cohomology has a much more complex structure, for example the cohomology spaces no longer have to be finite dimensional. Some important results about the deRham cohomology, in particular the Mayer-Vietoris theorem, will be generalized to the foliated case and used for cohomology computations on the knot foliated spheres. Because of the special construction of knot foliations even further modifications of foliation cohomology have to be introduced and investigated. As for the question of the dimensions of the foliation cohomology spaces as an important characteristic of their vector space structure, this leads to the result that in all degrees, such that the cohomology shifted down by 1 of the fibered knot is non-trivial, the cohomology of the knot foliations on spheres is infinite dimensional. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Topologie | |||||||
| Dokument erstellt am: | 15.07.2008 | |||||||
| Dateien geändert am: | 15.07.2008 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 19.03.2008 | |||||||
| Datum der Promotion: | 28.05.2008 |
