Dokument: Automorphisms of Local Fields and Zeta Functions of some Infinite Groups

Titel:	Automorphisms of Local Fields and Zeta Functions of some Infinite Groups
Weiterer Titel:	Automorphismen lokaler Körper und Zetafunktionen ausgewählter unendlicher Gruppen
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=62122
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20230306-092735-6
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Tijsma, Djurre Jacob [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 2,07 MB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 03.03.2023 / geändert 03.03.2023
Beitragende:	Priv.-Doz. Dr. Klopsch, Benjamin [Gutachter] Prof. Dr. Späth, Britta [Gutachter]
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	Diese Dissertation umfaßt drei verschiedene Forschungsprojekte innerhalb der Gruppentheorie und ist in kummulativer Form aufgebaut. Das erste Projekt bezieht sich auf Automorphismen lokaler Körper und besteht aus dem Artikel: Mit Jakub Byszewski und Gunther Cornelissen; Automata and finite order elements in the Nottingham group [Automaten und Elemente endlicher Ordnung in der Nottingham-Gruppe], J. Algebra 602 (2022), 484-554. Dieser Artikel erscheint als in sich geschlossenes Kapitel innerhalb der Dissertation. Die Nottingham-Gruppe bezüglich einer Primzahl p besteht aus formalen Potenzreihen t+at^2+bt^3+... in einer Variablen t mit Koeffizienten in dem Primkörper der Charakteristik p, wobei die Gruppenmultiplikation durch das Einsetzen von formalen Potenzreihen ineinander bewerkstelligt wird. Nur eine Handvoll von Potenzreihen endlicher Ordnung sind explizit bekannt, durch Angabe geeigneter Formeln für ihre Koeffizienten. Wir zeigen in unserem Artikel auf, dass es vorteilhaft ist, solche Torsionselemente mittels geeigneter Automaten in geschlossener Form zu beschreiben. Wir liefern explizite automatenbasierte Beschreibungen ausgewählter Torsionselemente der Ordnung 4 und 8; weiter geben wir eine Einbettung der Kleinschen Vierergruppe in die Nottingham-Gruppe bezüglich der Primzahl 2 an. Schließlich untersuchen wir die Komplexität der neuen Beispiele unter Berücksichtigung der algebro-geometrischen Eigenschaften von Gleichungen, welche die jeweiligen Elemente erfüllen. Das zweite Projekt befasst sich mit Kommensurabilitätszetafunktionen, welche relativ kürzlich, in 2020, von Bou-Rabee und Studenmund als weitere Zetafunktionen für Gruppen eingeführt wurden. Diese Zetafunktionen stellen eine Variante der sogenannten Untergruppenzetafunktionen dar. Zwei Untergruppen einer gegebenen Gruppen heißen kommensurabel, falls deren Schnitt in jeder der beiden Untergruppen endlichen Index besitzt. Das Produkt der beiden Indizes wird als Kommensurabilitätsindex bezeichnet. Nachdem in einer Gruppe eine Untergruppe als Referenzpunkt fest gewählt wurde, betrachten wir alle Untergruppen, die zu der Referenzuntergruppe kommensurabel sind, und kodieren die jeweiligen Kommensurabilitätsindizes in einer Dirichlet-Erzeugendenreihe, der Kommensurabilitätszetafunktion. Wir berechnen diese Zetafunktion für freie abelsche Gruppen von endlichem Rang und zeigen, dass sie sich als Quotient von bekannten Zetafunktionen schreiben läßt; Zähler und Nenner treten als Untergruppenzetafunktionen bzw. in deren Kontext auf. Schließlich verallgemeineren wir die Begriffsbildung und Untersuchungen, so dass sie im Zusammenhang mit Moduln Anwendung finden. Das letzte Projekt stellt eine Untersuchung zum Normalteilerwachstum dar. Die Normalteilerzetafunktion einer Gruppe ist eine Dirichlet-Erzeugendenreihe, in der die Anzahlen von Normalteilern zu jeweils vorgegebenem endlichen Index kodiert sind. Über eine geeignete Identität für Lie-Algebren vom Chevalley-Typ A leiten wir für eine Familie von Gruppen eine allgemeine Formel für deren Normalteilerzetafunktionen her. Mit Hilfe zusätzlicher umfangreicher liealgebrentechnischer Rechnungen erhalten wir aufschlussreiche allgemeine Aussagen zu den Normalteiler-Zetafunktionen für die ersten Hauptkongruenzuntergruppen spezieller linearer Gruppen von Grad d über den Ganzheitsringen O nicht-archimedischer lokaler Körper. In speziellen Fällen - nämlich d=2 und O die ganzen p-adischen Zahlen, oder d=3 und O wahlweise die ganzen p-adischen Zahlen oder der Potenzreihenring über einem endlichen Körper - erhalten wir eine explizite Beschreibung der jeweiligen Normalteilerzetafunktion. This dissertation consists of three different research projects within group theory and it is written as a cumulative thesis. The first project is about automorphisms of local fields and consists of the article: With Jakub Byszewski and Gunther Cornelissen; Automata and finite order elements in the Nottingham group, J. Algebra 602 (2022), 484-554. This article appears as a self-contained chapter in the thesis. The Nottingham group at a prime number p consists of power series t+at^2+bt^3+... in the variable t with coefficients from the field with p elements, where the group operation is given by composition of power series. Only a handful of power series of finite order are explicitly known through a formula for their coefficients. We argue in this article that it is advantageous to describe such series in closed computational form through automata. We give an explicit automaton-theoretic description of some series of order 4 and 8; and an embedding of the Klein four-group in the Nottingham group at 2. Moreover, we study the complexity of the new examples from the algebro-geometric properties of the equations they satisfy. The second project concerns the commensurability zeta function, a recent type of zeta function for groups introduced in 2020 by Bou-Rabee and Studenmund. This zeta function was defined in analogy to the subgroup zeta function. Two subgroups of an ambient group are said to be commensurable, if their intersection has finite index in both groups. The product of these two numbers is the commensurability index. Fixing some subgroup of the ambient group, we consider all subgroups which are commensurable with this fixed subgroup and we encode the corresponding commensurability index in a Dirichlet series, the commensurability zeta function. We compute this zeta function for the free abelian groups of finite rank and show that it can be expressed as a quotient of zeta functions arising from counting subgroups of finite index. Moreover, we generalise the commensurability zeta function to the setting of modules. The final project contains an investigation into the subject of normal subgroup growth. The normal subgroup zeta function of a group is a Dirichlet series encoding the number of normal subgroups of each finite index. By making use of an identity for Lie algebras of Chevalley type A we derive for a family of groups a general formula for the normal subgroup zeta function. Together with extensive Lie algebra calculations, we obtain general properties of the normal subgroup zeta function of the first principle congruence subgroup of the special linear group of degree d over the ring of integers O of a non-Archimedean local field. In some specific cases, i.e. d=2 and O the p-adic integers or d=3 and O the p-adic integers or the power series over a finite field, we obtain an explicit formula for the normal subgroup zeta function.
Lizenz:	Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Algebra und Zahlentheorie
Dokument erstellt am:	06.03.2023
Dateien geändert am:	06.03.2023
Promotionsantrag am:	19.04.2022
Datum der Promotion:	27.06.2022