Dokument: Projektionsverfahren zur Approximation von Matrixfunktionen mit Anwendungen auf die Implementierung exponentieller Integratoren

Titel:Projektionsverfahren zur Approximation von Matrixfunktionen mit Anwendungen auf die Implementierung exponentieller Integratoren
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URN (NBN):urn:nbn:de:hbz:061-20070227-140249-9
Kollektion:Dissertationen
Sprache:Deutsch
Dokumententyp:Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:Text
Autor: Niehoff, Jörg [Autor]
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Dateien vom 09.02.2007 / geändert 09.02.2007
Beitragende:Prof. Dr. Hochbruck, Marlis [Gutachter]
Prof. Dr. Frommer, Andreas [Gutachter]
Stichwörter:Matrixfunktionen, Krylovverfahren, Projektionsverfahren, Lanczos-Galerkin Verfahren, Restart, exponentielle Integratoren, superlineare Konvergenz, QR-Zerlegung, Arnoldi-Verfahren
Dewey Dezimal-Klassifikation:500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibung:In dieser Arbeit werden Approximationen an Produkte von Matrixfunktionen mit Vektoren mit Krylovverfahren betrachtet. Motiviert wird diese Betrachtung dadurch, dass die effiziente Berechnung dieser Approximationen wesentlich für die Implementierung exponentieller Integratoren ist.

Als Erstes wird ein Restartverfahren hergeleitet und dessen superlineare Konvergenz gezeigt. Scharfe Fehlerschranken und eine Deflated Variante werden anschließend angegeben.

Ebenfalls motiviert durch exponentielle Integratoren zur Lösung semilinearer, parabolischer Differentialgleichungen ist die Entwicklung von Verfahren zur Approximation von Produkten einer Matrixfunktion mit verschiedenen Vektoren, die Auswertungen einer glatten Funktion in den Knoten einer Quadraturformeln sind. Wir stellen zwei neue Verfahren dar, die ausgehend von einem Krylovraum der Matrix und des ersten Vektors die folgenden Approximationen mit deutlich geringerem Aufwand berechnen, als bei einer naiven Implementierung, die zuvor berechnete Krylovräume nicht ausnutzt. Das erste Verfahren ist ein Lanczos-Galerkin Projektionsverfahren. Für dieses Verfahren geben wir einen Konvergenzbeweis und scharfe Fehlerschranken an und entwickeln Varianten, die effiziente und robuste Implementierungen erlauben. Das zweite neue Verfahren ist ein Orthogonalprojektionsverfahren. Dieses verwendet die QR-Zerlegung der Vektoren. Für die Erstellung eines Abbruckkriteriums benötigen wir eine genaue theoretische Analyse der Faktoren der QR-Zerlegung. Dies gilt insbesondere für Varianten dieses Verfahrens, die wir durch das Verwenden von Restarts, Up-/Downdating Methoden und/oder der Hinzunahme von Ritzvektoren konstruieren.

Bei allen neu vorgestellten Verfahren ist die größte Schwierigkeit, dass für Matrixfunktionen kein Residuum zur Verfügung steht und wir deshalb viele in der Literatur vorgeschlagene Techniken für Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme nicht direkt verwenden werden können. Daher stellen wir die Matrixfunktion in der Cauchy-Integralformel dar und betrachten die Residuuen der verschobenen, linearen Gleichungssysteme innerhalb dieser Integraldarstellung.

Schließlich werden umfangreiche numerische Beispiele präsentiert. Es stellt sich heraus, dass mit den neu vorgeschlagenen Techniken die Ersparnis beim Rechenaufwand gegenüber einer naiven Implementierung über 90% liegen kann. Es wird erstmals gezeigt, dass exponentielle Integratoren auch für solch große Beispiele konkurrenzfähig sind.
Fachbereich / Einrichtung:Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik
Dokument erstellt am:05.02.2007
Dateien geändert am:12.02.2007
Promotionsantrag am:30.01.2007
Datum der Promotion:30.01.2007
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