Dokument: Equivariant analytic torsion on hyperbolic Riemann surfaces and the arithmetic Lefschetz trace of an Atkin-Lehner involution on a compact Shimura curve

Titel:	Equivariant analytic torsion on hyperbolic Riemann surfaces and the arithmetic Lefschetz trace of an Atkin-Lehner involution on a compact Shimura curve
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=3593
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20070215-082337-7
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Ebel, Tobias [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 520,3 KB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 09.02.2007 / geändert 09.02.2007
Beitragende:	Prof. Dr. Köhler, Kai [Gutachter] Prof. Dr. Grunewald, Fritz [Gutachter]
Stichwörter:	analytische Torsion, arithmetische Lefschetz-Spur, kompakte Shimura-Kurve, reduzierte Determinante, Funktionaldeterminante, automorpher Laplace-Operator, Atkin-Lehner-Involution, Selbergsche Zetafunktion, Selbergsche Spurformel, arithmetische Höheanalytic torsion, arithmetic Lefschetz trace, compact Shimura curve, reduced determinant, functional determinant, automorphic Laplacian, Atikin-Lehner involution, Selberg zeta function, Selberg trace formula, arithmetic height
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	In dieser Dissertation berechnen wir die äquivariante analytische Torsion eines Hermiteschen Vektorbündels über einer hyperbolischen Riemannschen Fläche, welches durch einen Automorphiefaktor beliebigen Gewichtes und Ranges gegebenen ist. Wir drücken diese aus durch Werte einer geeigneten äquivarianten Selberg-Zeta-Funktion und Ableitungen der Lerch’schen Phi-Funktion (Theorem 1.3). Für Tensorpotenzen des kanonischen Geradenbündels beweisen wir ein spezielleres Resultat (Korollar 1.4). Der Beweis von Theorem 1.3 benutzt den Zusammenhang zwischen der Funktionaldeterminante des Laplace-Operators auf automorphen Formen und einer geeignet vervollständigten Selberg-Zeta-Funktion, den wir in Theorem 1.1 für kokompakte Fuchssche Gruppen mit elliptischen Elementen bereitstellen. Des weiteren verwenden wir ein Fouriertransformationsargument. Als Nebenresultat berechnen wir auch die gewöhnliche analytische Torsion sehr ampler Potenzen des kanonischen Geradenbündels (Korollar 1.12). Mit Hilfe der Eichlerschen Theorie der indefiniten rationalen Quaternionenalgebren können wir die äquivariante Selberg-Zeta-Funktion bezüglicher einer Atkin-Lehner-Involution berechnen (Proposition 2.10). Mittels Modulinterpretation und verallgemeinerter Chowla-Selberg-Formel (Theorem 2.14) gelingt uns auch die Berechnung der Höhe des Fixpunktschemas einer Atkin-Lehner-Involution (Proposition 2.13). Setzt man die letzten beiden Resultate in die arithmetische Lefschetz-Fixpunkt-Formel von Köhler und Roessler ein, so ergibt sich eine explizite Formel für die arithmetische Lefschetz-Spur einer Atkin-Lehner-Involution (Theorem 0.1). Schließlich weisen wir auf eine interessante Identität (Proposition 2.18) hin, die man auf arithmetischen Flächen vom Geschlecht zwei erhält, indem man den arithmetische Lefschetz-Fixpunkt-Satz mit dem arithmetischen Riemann-Roch-Satz von Gillet und Soulé kombiniert. Alle Ergebnisse über Shimura-Kurven werden anhand des Beispiels der Diskriminante 26 veranschaulicht. In this thesis, we compute the equivariant analytic torsion of a Hermitian vector bundle over a hyperbolic Riemann surface given by a factor of automorphy of arbitrary weight and rank in terms of an equivariant Selberg zeta function and derivatives of Lerch’s Phi function (Theorem 1.3). We also specialise this result to the case of powers of the canonical bundle (Corollary 1.4). We accomplish this by comparing the functional determinant of the automorphic Laplacian for a cocompact Fuchsian group with elliptic elements with the completed Selberg zeta function (Theorem 1.1) and employing a Fourier transform argument. As a byproduct, we also compute the ordinary analytic torsion of very ample powers of the canonical bundle (Corollary 1.12). Using Eichler’s theory of indefinite rational quaternion algebras, we succeed in computing the equivariant Selberg zeta function (Proposition 2.10) with respect to an Atkin-Lehner involution acting on a compact Shimura curve. With the help of the moduli interpretation and the generalised Chowla-Selberg formula (Theorem 2.14), we also manage to compute the height of the fixed point scheme of an Atkin-Lehner involution (Proposition 2.13). Combined with these two results, the arithmetic Lefschetz fixed point formula of K¨ohler and Roessler then yields an explicit formula for the arithmetic Lefschetz trace of an Atkin-Lehner involution (Theorem 0.1). Finally we point out a curious identity on arithmetic surfaces of genus two (Proposition 2.18) that can be obtained from a simultaneous application of the arithmetic Lefschetz fixed point theorem and the arithmetic Riemann-Roch theorem of Gillet and Soulé. All results about Shimura curves are illustrated by means of the example of discriminant 26.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik
Dokument erstellt am:	04.01.2007
Dateien geändert am:	12.02.2007
Promotionsantrag am:	11.12.2006
Datum der Promotion:	11.12.2006