Dokument: Äquivariante holomorphe Tosion für ein Faserbündel

Titel:	Äquivariante holomorphe Tosion für ein Faserbündel
Weiterer Titel:	Equivariant holomorphic torsion for a fibre bundle
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=29869
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20140709-112715-5
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Ueckerdt, Thomas [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 876,8 KB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 07.07.2014 / geändert 07.07.2014
Beitragende:	Prof. Dr. Köhler, Kai [Gutachter] Prof. Dr. Singhof, Wilhelm [Gutachter]
Stichwörter:	holomorphic torsion,equivariant,Lie Group
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	In der vorliegenden Arbeit geht es darum eine verallgemeinerte Produktformel für die äquivariante holomorphe Torsion von bestimmten holomorphen Linienbündeln über speziellen Faserbündeln zu bestimmen. Desweiteren wird diese Produktformel dazu benutzt die äquivariante holomorphe Torsion für flache Linienbündel über kompakten, gerade-dimensionalen Liegruppen zu bestimmen. Wir verallgemeinern dabei in beiden Fällen ein bekanntes nicht-äquivariantes Resultat von N. Stanton. In bestimmten Fällen zerfällt der Dolbeault-Laplace-Operator für holomorphe Linienbündel über komplexen Faserbündeln in zwei Teile, einen vertikalen Laplace-Operator und einen horizontalen Laplace-Operator. Diese Aufteilung lässt sich, wie wir in dieser Arbeit zeigen, fortsetzen auf die zugehörige äquivariante spektrale Zeta-funktion. Um genauer zu werden, wir erhalten einen Teil, der nur vom Kern des horizontalen Laplace-Operators abhängt und sich darstellen lässt über die äquivarianten Indexe bestimmter holomorpher Vektorbündel über der Basis des Faserbündels, und einen weiteren Teil, der nur vom Kern des vertikalen Laplace-Operators abhängt und insbesondere weiter zerfällt in die äquivarianten Torsionen von speziellen holomorphen Vektorbündeln über der Basis des Faserbündels. Für zulässige Wirkungen auf die holomorphen Linienbündel, deren induzierte Wirkung auf die Basis des holomorphen Faserbündels nur isolierte Fixpunkte hat, ergibt sich ein noch einfacherer Ausdruck für die äquivariante holomorphe Torsion. Im zweiten Teil dieser Arbeit wenden wir diese Zerlegung der Torsion auf ein spezielles Beispiel an. Wir betrachten das Faserbündel, welches man erhält, wenn man eine kompakte, gerade-dimensionale Liegruppe durch einen maximalen Torus dividiert. Bei den zu untersuchendenden holomorphen Linienbündeln schränken wir uns auf die Klasse der flachen Linienbündel ein. Die Theorie des ersten Teils, angewendet auf dieses Beispiel, liefert uns einen übersichtlicheren Ausdruck für die äquivariante holomorphe Torsion der Linienbündel. This thesis is dedicated to develop a generalised product formula for the equivariant holomorphic torsion of a holomorphic, Hermitian line bundle over a certain kind of fibre bundle. Furthermore, we study an example which is given on the one hand, by a holomorphic fibre bundle, consisting of a compact, connected, even-dimensional Lie group modded out by a maximal torus and on the other hand, by flat complex line bundles over this Lie group. In both parts of this thesis, we generalise a non-equivariant result from N. Stanton. Take a holomorphic line bundle L over a holomorphic fibre bundle E → M . There are certain conditions that guaranty a splitting of the Dolbeault-Laplacian on L into a horizontal part and a vertical part. In the first part of this thesis, we show that this splitting sometimes extends to a splitting of the spectral equivariant zeta-function into a part that depends only on the kernel of the horizontal Laplacian, consisting of a sum over various indexes of certain holomorphic vector bundles over M , and a part the depends only on the kernel of the vertical Laplacian. The latter part is given by a sum over equivariant holomorphic torsions of holomorphic vector bundles over M. For the special case of an admissible action that induces an action on M which has only non-degenerated fixed points, we obtain an even simpler result. This is due to the fact that we can apply the Atiyah-Bott fixed point formula to the sum over the indexes occurring in the first part of the expression for the equivariant holomorphic torsion of L. In the second part of this thesis, we study the example of the holomorphic fibre bundle, induced by a compact, even-dimensional Lie group G and a maximal torus T therein. We show that for certain flat line bundles over G the theory of the first part is applicable. Let g1 be an element of the universal covering group G that covers an element g0 in G which generates a maximal torus. For the special case of an equivariant action that is essentially given by left multiplication with g1 , we obtain an expression for the equivariant holomorphic torsion for the flat line bundle over G that depends only on the roots of G and on the equivariant holomorphic torsions of the line bundle restricted to the maximal torus with g1 induced action.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Algebra und Zahlentheorie
Dokument erstellt am:	09.07.2014
Dateien geändert am:	09.07.2014
Promotionsantrag am:	28.01.2014
Datum der Promotion:	08.04.2014