Die Arbeit beschäftigt sich mit dem Residuum an der Stelle 1 von Wachstumsfunktionen von rechtwinkligen Coxetergruppen und Bianchigruppen.

Eine rechtwinklige Coxetergruppe G besitzt eine Präsentierung der Form < g₁, ..., g_k | g₁²=...=g_k²=1, (g_ig_j)^m_i,j=1 > mit m_i,j in { 0, 2 } für alle iG = { g₁, ..., g_k } werden die geometrisch motivierten Erzeugendensysteme Sigma²_G = Sigma_G u { g_ig_j | (g_ig_j)²=1 } und Sigma³_G = Sigma²_G u { g_ig_jg_k | g_i, g_j, g_k kommutieren } betrachtet. Die zugehörigen Wachstumsfunktionen werden als 1-, 2- bzw. 3-Wachstumsfunktion von G bezeichnet.

Um mehr über Wachstumsfunktionen rechtwinkliger Coxetergruppen zu erfahren, wenn nicht das Standarderzeugendensystem gewählt wird, werden 2-Wachstumsfunktionen verschiedener Serien rechtwinkliger Coxetergruppen betrachtet.

Die rechtwinklige Coxetergruppe L_k wird definiert durch L_k := < g₁, ..., g_k | g_i²=1, (g_jg_j+1)²=1 für j. Es wird gezeigt, daß die 2-Wachstumsfunktion von L_k sich als Quotient von Determinanten von Bandmatrizen schreiben läßt. Eine Untersuchung dieser Determinanten führt zu folgender Formel für die 2-Wachstumsfunktion: f_{Lk, Sigma²Lk}(x) = (u·B^k-3·v)/(z·C^k-3·w) für k>2. Dabei sind u und z Zeilenvektoren, v und w Spaltenvektoren, B eine quadratische Matrix aus M₂(Z[x]) und C eine quadratische Matrix aus M₁₅(Z[x]). Es wird gezeigt, daß es einen Zusammenhang zwischen dem Zähler u·B^k-3·v und Catalan-Zahlen gibt. Es werden erzeugende Funktionen zur Berechnung von Determinanten gewisser Bandmatrizen bestimmt.

In der Arbeit wird die 3-Wachstumsfunktion einer rechtwinkligen Coxetergruppe G_r,s, die von den Spiegelungen an den Seitenflächen eines Polyeders F_r,s im dreidimensionalen hyperbolischen Raum erzeugt wird, untersucht. Das betrachtete Polyeder F_r,s ist eine verallgemeinerte Dodekaederkette aus r verallgemeinerten Dodekaedern mit rechtwinkligen Kanten und Drehsymmetrie 2·pi/s für s>4. Es wird gezeigt, daß die 3-Wachstumsfunktion von G_r,s eine Polstelle an der Stelle 1 besitzt für r<31, deren Residuum folgenden Kehrwert besitzt: 1/res₁(f_r,s) = (s-4)/8+3·r·s/40+(s-4)·s·F_r/ (10·(L_r·s-L_r+2)). Dabei ist F_r die r-te Fibonaccizahl und L_r die r-te Lucaszahl.

Ist die natürliche Zahl D quadratfrei, so sei O_-D der Ring der ganzen Zahlen in Q(sqrt(-D)). Dann ist PSL₂(O_-D) eine Bianchigruppe, die auf H³ operiert. Die in der Arbeit bestimmten Wachstumsfunktionen von PSL₂(O_-D) (für D=1, 2, 5 und 7 und ein festes Erzeugendensystem Sigma_D) und Cusp-Closings PSL₂(O_-D)/«T^kU^l» (für nicht zu kleines k und l) besitzen eine Polstelle an der Stelle 1. Die berechneten Residuen der Quotienten scheinen für k+l -> unendlich gegen das Residuum von PSL₂(O_-D) zu konvergieren. Die Wachstumsfunktionen der Bianchigruppen werden mit Hilfe des Softwarepakets KBMAG bestimmt.

Es werden einige Quotienten der Fundamentalgruppe des Achterknotens (eine Untergruppe vom Index 12 der Bianchigruppe PSL₂(O_-3)) genauer betrachtet. Volumen und Kehrwert des Residuums an der Stelle 1 von Wachstumsfunktionen des Achterknotens und anderer hyperbolischer Knoten mit bis zu zehn Überkreuzungen werden genauer betrachtet.

This thesis deals with the residue at 1 of growth functions of right-angled Coxeter groups and Bianchi groups.

A right-angled Coxeter group G has the following presentation: < g₁, ..., g_k | g₁²=...=g_k²=1, (g_ig_j)^m_i,j=1 > with m_i,j in { 0, 2 } for all iG = { g₁, ..., g_k } is the standard generating system of G. Furthermore there are the generating systems Sigma²_G = Sigma_G u { g_ig_j | (g_ig_j)²=1 } and Sigma³_G = Sigma²_G u { g_ig_jg_k | g_i, g_j, g_k commute }. The corresponding growth functions are denoted by 1-, 2- and 3-growth function of G respectively.

The right-angled Coxeter group L_k is defined by L_k := < g₁, ..., g_k | g_i²=1, (g_jg_j+1)²=1 for j. It will be shown, that the 2-growth function of L_k can be written as a quotient of determinants of band matrices. This leads to the following formula for the 2-growth function: f_{Lk, Sigma²Lk}(x) = (u·B^k-3·v)/(z·C^k-3·w) for k>2. The vectors u and z are row vectors, v and w are column vectors, B is a quadratic matrix in M₂(Z[x]) and C is a quadratic matrix in M₁₅(Z[x]). It will be shown that there is a connection between the nominator u·B^k-3·v and Catalan numbers. There are generating functions which yield the determinant of some band matrices.

In the thesis the 3-growth function of a right-angled Coxeter group G_r,s will be examined. G_r,s is generated by the reflections at the sides of a polyhedron F_r,s in three dimensional hyperbolic space. The polyhedron F_r,s is a generalized dodecahedral chain consisting of r generalized dodecahedrons mit right-angled dihedral angles and rotational symmetry 2·pi/s for s>4. The computed 3-growth function of G_r,s has a pole of degree 1 at 1 for r<31. The residue at 1 has the following reciprocal value: 1/res₁(f_r,s) = (s-4)/8+3·r·s/40+(s-4)·s·F_r/ (10·(L_r·s-L_r+2)). It is F_r the r-th Fibonacci number and L_r the r-th Lucas number.

Let D be a squarefree natural number and O_-D the ring of integers of Q(sqrt(-D)). Then PSL₂(O_-D) is a Bianchi group acting on the hyperbolic space H³. The thesis deals with growth functions of PSL₂(O_-D) for D=1, 2, 5 or 7 and a fixed generating system Sigma_D and cusp-closings PSL₂(O_-D)/ «T^kU^l». The growth functions are computed by the software package KBMAG.

Some quotients of the fundamental group of the figure-eight knot (a subgroup of index 12 of the Bianchi group PSL₂(O_-D)) will be considered. The volume and the reciprocal value of the residue at 1 are compared if K is the figure-eight knot or some hyperbolic knot with at most 10 crossings.