Dokument:
Numerische Lösung und Modellierung eines inversen Problems
zur Assimilation digitaler Bilddaten
| Titel: | Numerische Lösung und Modellierung eines inversen Problems zur Assimilation digitaler Bilddaten | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=2065 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20010208-000065-7 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Dr. Henn, Stefan [Autor] | |||||||
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| Beitragende: | Prof. Dr. Witsch, Kristian [Gutachter] Prof. Dr. Hochbruck, Marlis [Gutachter] Prof. Dr. Jarre, Florian [Gutachter] | |||||||
| Stichwörter: | Inverse Probleme, Regularisierung, Mehrgitterverfahren, Numerik, Digitale Bildverarbeitung, Scientific Computing Nonlinear Ill-Posed Problems, Scientific Computing, Image Processing, Multigrid Methods, Tikhonov Regularisation, Inverse Problems | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibung: | Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Identifikation von physikalischen Größen, auf die man zum Beispiel durch direkte Messungen keinen Zugang hat, sondern auf die man durch Beobachtung anderer verfügbarer Größen schließen muss. Die mathematische Modellierung des Problems erfolgt durch kontinuierliche Signale (Bilder) T und R. Durch Betrachtung des sogenannten Referenzbildes R(x) und des durch die Verschiebung u(x) deformierten Templatebildes T(x), erhält man die Zustandsgleichung T(x-u(x))=R(x). Aus dieser Gleichung soll auf geeignete Weise auf die Verschiebungen u(x) zur Assimilation der Bilddaten geschlossen werden. Die Bilddaten können hierbei zum Beispiel von zu verschiedenen Zeitpunkten von einem Satelliten gesendete Wolkenbilder sein. Durch deren Anpassung wird auf gesuchte Windrichtung und Windgeschwindigkeit zurückgeschlossen, die in der Meteorologie wichtige Größen bei der kurz- und mittelfristigen Wettervorhersage sind. In der Medizin werden Bilddaten mit unterschiedlicher Information aufeinander transformiert und hierdurch der Informationsgehalt der resultierenden Bilddaten erhöht. Da die direkte Bestimmung der Größe u(x) (etwa durch Messungen) nicht möglich ist, wird durch Beobachtung anderer verfügbarer Größen das Problem invers gestellt. Um eine geeignete Näherungslösung des Problems finden zu können, wird der Abstand D(u(x)) zwischen den beiden Datensätzen gemessen und eine Lösung des Minimierungsproblems min D(u(x)) gesucht. Instabilitäten wird wie bei vielen inversen Problemen durch Regularisierung begegnet. Hierbei wird dem zu minimierenden Funktional D(u(x)) ein Regularisierungsterm mit geeigneten Eigenschaften hinzugefügt und durch einen Regularisierungsparameter skaliert. Um die n-dimensionale Verschiebungen elastisch zu modellieren, wird eine symmetrische, positiv definite Bilinearform aus der linearen Elastizitätstheorie zur Regularisierung verwendet. Die Bilinearform misst die potentielle Energie einer elastischen Verschiebung und modelliert die Bilddaten wie ein elastisches Medium ohne Querkontraktion. In Kapitel 3 werden unrestringierte Minimierungsverfahren für das Defektfunktional D(u(x)) vorgestellt. Zum Beispiel Verfahren, die durch Linearisierung von D(u(x)) um eine aktuelle Näherungslösung u_k(x) die Richtung des steilsten Abstiegs verfolgen oder ein Variationsansatz zur Minimierung des sogenannten Tikhonov-Funktionals. Die Minimierungsverfahren führen auf gekoppelte partielle Differentialgleichungen für die Verschiebungen, die in Kapitel 4.1 durch die cell centered Methode geeignet diskretisiert werden. Die Approximation der Gleichung erfolgt durch die Finite Differenzen Methode. Hierbei werden die auftretenden Ableitungen in den partiellen Differentialgleichungen durch Differenzenquotienten zweiter Ordnung ersetzt. Die numerische Lösung erfolgt durch Mehrgitterverfahren (MGV), deren Grundidee die Lösung nach verschiedenfrequenten Fehlerkomponenten auf verschiedenen Auflösungsstufen ist und in Kapitel 4.3 dargestellt wird. MGV zeichnen sich gegenüber anderen Verfahren zur iterativen Lösung partieller Differentialgleichungen dadurch aus, dass ihre Konvergenzrate unter geeigneten Voraussetzungen unabhängig von der gewählten Schrittweite ist und dass ihr asymptotischer Aufwand O(N) proportional zur Anzahl der Gitterpunkte N ist. In Kapitel 5 wird der Minimierungsprozess für D(u) in Kombination mit den MGV beschrieben. Die wesentliche Schwierigkeit bei der Berechnung der Verschiebungsvektoren ist hierbei den Regularisierungsparameter geeignet zu bestimmen. Der Informationsgehalt der Bilddaten ist in vielen Anwendungen enorm. Typischer Weise enthalten in der Medizin 2D Schnittbilder bis zu 512x512 pixel und 3D Volumendatensätze 256x256x128 voxel Aufnahmen der Erdoberfläche können bis zu 4096x4096 Bildelemente enthalten. Wegen dieser Datenmengen wird in Kapitel 6 das Parallelisierungspotential der Minimierungsverfahren diskutiert und ein geeigneter paralleler Algorithmus für Mehrprozessorsystemen mit verteiltem Speicher entwickelt. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik | |||||||
| Dokument erstellt am: | 08.02.2001 | |||||||
| Dateien geändert am: | 12.02.2007 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 08.02.2001 | |||||||
| Datum der Promotion: | 08.02.2001 |
