Dokument: The Liftability of Elliptic Surfaces
| Titel: | The Liftability of Elliptic Surfaces | |||||||
| Weiterer Titel: | Die Liftbarkeit Elliptischer Flächen | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=17104 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20110131-104522-2 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Englisch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Partsch, Holger [Autor] | |||||||
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| Beitragende: | Prof. Dr. Schröer, Stefan [Gutachter] Dr habil Bertolin, Christiana [Gutachter] | |||||||
| Stichwörter: | Algebraic Geometry, Elliptic Surfaces, Positive Characteristic | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | Das Thema dieser Arbeit ist die Liftbarkeit elliptischer Flächen. Ein Schema X über einer einem Körper k positiver Charakteristik heißt liftbar nach Characteristik 0 wenn ein lokaler
Ring (R,m) existiert mit R/m isomorph zu k und Primring isomorph zu den ganzen Zahlen, sowie ein flaches Schema X über R mit der Eigenschaft, dass der Basiswechsel mit k das Schema X liefert. Eine Fläche heißt elliptisch, wenn sie eine elliptische Faserung besitzt, d.h. einen Morphismus auf eine Kurve, dessen generische Faser eine glatte Kurve vom Geschlecht 1 ist. Elliptische Flächen existieren im Überfluss, denn viele Fläche von Kodaira-Dimension kleiner gleich 0 sind elliptisch, und jede Fläche von Kodaira-Dimension 1 besitzt eine elliptische oder quasi-elliptische Faserung. Zur Untersuchung der Liftbarkeit elliptischer Faserungen ziehen wir die Modultheorie elliptischer Kurven heran. Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit studieren wir Deformationen und Liftungen glatter elliptischer Faserungen. Es stellt sich heraus, dass die Deformationstheorie dieser Objekte so gut kontrollierbar ist, dass wir in der Lage sind, nicht liftende Beispiele elliptische Faserungen über Körpern der Charakterisik 2 und 3 zu konstruieren. Es handelt sich um die ersten bekannten Beispiele. Auch konstruieren wir eine Klasse elliptischer Faserungen deren Liftbarkeit äquivalent zu einer offenen Vermutung von Oort ist. Das unterstreicht die Komplexit¨at des Liftungsproblems für elliptische Faserungen. Als weitere Anwedung klassifizieren wir die Deformationen bielliptischer Flächen und zeigen deren Liftbarkeit. Im zweiten Kapitel beschäftigen wir uns mit semistabilen elliptischen Faserungen. Mittels der Modultheorie für verallgemeinerte elliptische Kurven, entwickelt von Deligne und Rapoport und erweitert durch Conrad, können wir zeigen, dass jede semistabile elliptische Faserung mit Schnitt und separabler modularer Invariante nach Characteristik 0 lifted. Das dritte Kapitel handelt von elliptischen Faserungen die bestimmte Zahmheitseigenschaften erfüllen. Nach Ausschluss von Charakterisik 2 und 3 zeigen wir, dass jede jacobische elliptische Faserung mit zahmer modularer Invariante lifted. Für nicht jacobische Faserungen gilt ein vergleichbares Resultat, falls ein Multischnitt vom Grade prim zu p existiert. Als Fazit erhalten wir, dass obgleich nicht liftende elliptische Faserungen existieren, dieses Verhalten nicht das typische ist. Ist p im Verhältniss zu gewissen arithmetischen Invarianten der fraglichen Faserung hinreichend groß, so gilt Liftbarkeit.The topic of this work is the liftability of elliptic surfaces. A scheme X over a field k of positive characteristic is called liftable to characteristic zero, if there is a local ring (R,m) with R/m isomorphic to k and containing the integers as well as a flat scheme X over R, such that the base change with k is X. A surface is called elliptic if it has an elliptic fibration, i.e. a morphism to a curve, such that the generic fibre is a smooth genus-1 curve. Elliptic surfaces exist in abundance because they are common in Kodaira dimension less than one and every surface in Kodaira dimension one has a unique elliptic or quasi-elliptic fibration, given by the canonical bundle. To investigate the liftability of elliptic fibrations, we make extensive use of the moduli theory of elliptic curves. In the first Chapter of this work, we study deformations and liftings of smooth elliptic fibrations. It turns out that we can control their deformations fairly well, which allowes us to give examples of non-liftable elliptic fibrations of Kodaira dimension one over fields of characteristic two and three. Those are the first examples currently known. We also construct a class of elliptic surfaces whose liftability is equivalent to an open conjecture of Oort. This illustrates the complexity of the lifting problem for elliptic surfaces. To give a further application, we classify deformations of bielliptic surfaces and show that they are liftable. In the second Chapter we are concerned with semistable elliptic fibrations. Using the moduli theory of generalized elliptic curves developed by Deligne and Rapoport and extended by Conrad, we can show that every semistable elliptic fibration, possesing a section and having a separable modular invariant, is liftable to characterstic zero. The third chapter deals with elliptic fibrations satisfying certain tameness properties. Excluding characteristic two and three, we prove that a Jacobian elliptic fibration with tame modular invariant is liftable in the category of algebraic spaces. For non-Jacobian fibrations we have a similar result, given the existence of a multisection of degree prime to p. As a conclusion, we can say that, although non-liftable elliptic fibrations do exist, this is not the typical behaviour. Given that p is sufficiently large in comparison to certain arithmetic invariants of the surface in question, liftability is seen to hold true. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Algebraische Geometrie | |||||||
| Dokument erstellt am: | 31.01.2011 | |||||||
| Dateien geändert am: | 31.01.2011 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 08.12.2010 | |||||||
| Datum der Promotion: | 21.01.2011 |
