Dokument: Hecke Operatoren für nicht-kongruente Untergruppen von Bianchi Gruppen

Titel:	Hecke Operatoren für nicht-kongruente Untergruppen von Bianchi Gruppen
Weiterer Titel:	Hecke operators for non-congruence subgroups of Bianchi groups
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=15556
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20100713-115610-4
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Dr. Hamzeh-Zarghani, Saeid [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 567,6 KB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 08.07.2010 / geändert 08.07.2010
Beitragende:	Prof. Dr. Singhof, Wilhelm [Gutachter] Priv. Doz. Dr. Tobias Finis [Gutachter]
Stichwörter:	Hecke operators, Non-congruence subgroup, Bianchi group, Modular form
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	Sei $H < \PSL(2,\Oh_{-d})$ eine Untergruppe von endlichem Index und $d$ eine quadratfreie natürliche Zahl. Sei $H$ von Level $J$, wie in Grunewald-Schwermer 1999 definiert, und sei $\hat{H}$ der Kongruenzabschluß von $H$. Angenommen $p\in \Oh_{-d}$ ist eine Primzahl und $\mathfrak{a}+ p\Oh_{-d} = \Oh_{-d}$. In dieser Arbeit zeigen wir, dass f\"ur jeden $\PSL(2,\Oh_{-d})$-modul $X$ und jedes $q\geq 1$, die Wirkung von Hecke-Operatoren auf Kohomologie Gruppe $H^q(H,X)$ st dasselbe wie die Wirkung des Hecke-Operators auf $H^q(\hat{H},X)$. Dies ist eine Verallgemeinerung der Atkin Vermutung, die in einem Spezialfall von Serre (1987) und in Allgemeinen von Berger (1994) bewiesen wurde. Die Vermutung lautet wie folgt: Die Wirkung von Hecke-Operatoren $T_p^H$ auf dem Raum von Modulformen $M_k(H)$ von jedem beliebigen Gewicht $k$, assoziiert zu einer nicht-Kongruenten Untergruppe $H$ von $\PSL(2,\Z)$ mit endlichem Index ist dasselbe wie die Wirkung des Hecke-Operators $T^{\hat{H}}_p$ auf $M_k(\hat{H})$, wobei $\hat{H}$ der Kongruenzabschluß von $H$ ist. Consider a finite index subgroup $H$ of the Bianchi group $\PSL(2,\Oh_{-d})$, $d$ any square-free natural number. Let $H$ be of level $J$, in the sense of Grunewald and Schwermer 1999, and $\hat{H}$ be its congruence closure. Suppose that $p\in \Oh_{-d}$ is prime and $J+ p\Oh_{-d} = \Oh_{-d}$. In this work, we show that for every $\PSL(2,\Oh_{-d})$-module $X$ and every $q\geq 1$ the Hecke theory for the cohomology groups $H^q(H,X)$ is essentially the same as the Hecke theory for $H^q(\hat{H},M)$. This is a generalization of the Atkin's conjecture (now a theorem, first confirmed in a special case by Serre in $1987$ and finally proved in general by Berger in $1994$): the action of the Hecke operators $T^H_p$ on the space of the cusp forms $S_k(H)$ of any given weight $k$ associated to a non-congruence finite index subgroup $H\leq\PSL(2,\Z)$ is essentially the same as the action of the Hecke operators $T^{\hat{H}}_p$ on $S_k(\hat{H})$, where $\hat{H}$ is the congruence closure of $H$.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät
Dokument erstellt am:	13.07.2010
Dateien geändert am:	08.07.2010
Promotionsantrag am:	26.04.2010
Datum der Promotion:	01.07.2010