Dokument: Elementare Moduln ohne Selbsterweiterungen
| Titel: | Elementare Moduln ohne Selbsterweiterungen | |||||||
| Weiterer Titel: | Elementary Modules without Selfextensions | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=12902 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20091001-114428-7 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Dr. Schmidt-Wegenast, Claudio [Autor] | |||||||
| Dateien: |
| |||||||
| Beitragende: | Prof. Dr. Kerner, Otto [Betreuer/Doktorvater] Prof. Dr. Kerner, Otto [Gutachter] Prof. Dr. Grunewald, Fritz [Gutachter] | |||||||
| Dokumententyp (erweitert): | Dissertation | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | Die unzerlegbaren Moduln über einer zusammenhängenden, endlich-dimensionalen, wilden, erblichen Algebra $H$ lassen sich in drei Klassen unterteilen: In präinjektive, präprojektive und reguläre Moduln. Die unzerlegbaren präprojektiven und präinjektiven Moduln kann man mittels ihrer Dimensionsvektoren, durch die sie eindeutig bis auf Isomorphie bestimmt sind, konstruieren. Bei regulären Moduln ist das jedoch im allgemeinen nicht der Fall.\\
Elementare Moduln spielen für das Verständnis der regulären Moduln eine wichtige Rolle: Die volle Unterkategorie $H-\reg$ der regulären Moduln über einer wilden erblichen Algebra ist abgeschlossen unter Bildern und Erweiterungen, jedoch nicht unter Kernen und Cokernen.\\ Die Klasse der elementaren Moduln ist die kleinste Klasse von Moduln, deren Erweiterungs-Abschluss $H-\reg$ ist.\\ Es gibt nur endlich viele Coxeter-Bahnen von Dimensionsvektoren von elementaren Moduln. Das bedeutet jedoch im allgemeinen nicht dass es nur endlich viele $\t$-Bahnen von elementaren Moduln gibt, da Moduln im allgemeinen durch ihren Dimensionvektor nicht eindeutig bis auf Isomorphie bestimmt sind.\\ Unzerlegbare Moduln ohne Selbsterweiterungen hingegen schon, es gibt also bis auf Isomorphie nur endlich viele $\t$-Bahnen von elementaren Moduln ohne Selbsterweiterungen.\\ In jeder zusammenhängenden, wilden erblichen Algebra mit mindestens drei Isomorphieklassen von einfachen Moduln gibt es elementare Moduln ohne Selbsterweiterungen, es ist jedoch im allgemeinen nicht bekannt wie viele.\\ Es gibt jedoch einen Zusammenhang zwischen elementaren Moduln ohne Selbsterweiterungen und präprojektiven Kippmoduln: Man kann elementare Moduln ohne Selbsterweiterungen konstruieren, indem man reguläre Komplemente zu fast vollständigen präprojektiven Kippmoduln findet. Damit erhält man alle $\t$-Bahnen von elementaren Moduln ohne Selbsterweiterungen.\\ \\ Das Hauptresultat dieser Arbeit ist eine, auf diese Weise erstellte, vollständige Liste aller $\t$-Bahnen von elementaren Moduln ohne Selbsterweiterungen für Wegealgebren über einem Köcher mit 3 oder 4 Punkten. Eine wilde erbliche Algebra mit 4 Punkten hat maximal 8 $\t$-Bahnen von elementaren Moduln ohne Selbsterweiterungen; eine wilde erbliche Algebra mit 3 Punkten maximal 3.\\ \\ Weiterhin wurde für eine Wegealgebra $H$ über einem Köcher ohne Spitze gezeigt:\\ Ist $E$ ein elementarer $H$-Modul ohne Selbsterweiterungen, dann gibt es ein $l\in \mathbb{N}$ und einen präprojektiven Kippmodul $M$, so dass für $H'=\End_H(M)$ der Modul $\t_{H'}\Hom_H(M,\t_H^{-l}E)$ präprojektiv über einer Faktoralgebra von $H'$ nach einem Idempotent ist.The indecomposable modules over a connected finite-dimensional wild hereditary algebra $H$ can be distinguished into three classes: preinjective, preprojective and regular ones. Since the indecomposable preprojective and preinjective modules are, up to isomorphism, uniquely determined by their dimension vectors, they can be constructed. For regular modules this is in general not the case.\\ \\ Elementary modules play an important role for the understanding of regular modules: The full subcategory $H-\reg$ of regular modules over a wild hereditary algebra is closed under images and extensions, but not under kernels and cokernels. The class of elementary modules is the smallest class of modules whose extension-closure is $H-\reg$.\\ \\ There are only finitely many Coxeter-orbits of dimension vectors of elementary modules. In general this does not mean that there are only finitely many $\t$-orbits of elementary modules, since in general modules are not uniquely determined by their dimension vector up to isomorphism.\\ But indecomposable modules without selfextensions are. Therefore there are, up to isomorphism, only finitely many $\t$-orbits of elementary modules without selfextensions.\\ However, there are indecomposable modules without selfextensions in any connected wild hereditary algebra with at least three isomorphism classes of simple modules. But it is not known how many there are.\\ \\ There is a connection between elementary modules without selfextensions and preprojective tilting modules:\\ One can construct elementary modules without selfextensions by finding regular complements of almost complete preprojective tilting modules. Thereby one obtains all $\t$-orbits of elementary modules without selfextensions.\\ \\ The main result of this elaboration is a complete list of all $\t$-orbits of elementary modules without selfextensions for all pathalgebras over quivers with 4 or 3 points. There are at the most 8 $\t$-orbits of elementary modules without selfextensions in the four point case, and at most three in the thee point case.\\ \\ Furthermore, for a pathalgebra $H$ over a quiver without a tip a second result is presented: For each elementary $H$-module $E$ without selfextensions there is an $l\in \mathbb{N}$ and a preprojective tilting module $M$, such that for $H'=\End_H(M)$ the module $\t_{H'}\Hom_H(M,\t_H^{-l}E)$ is preprojective over a factoralgebra of $H'$ by an idempotent. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Algebra und Zahlentheorie | |||||||
| Dokument erstellt am: | 01.10.2009 | |||||||
| Dateien geändert am: | 30.09.2009 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 09.06.2009 | |||||||
| Datum der Promotion: | 14.07.2009 |
