Dokument: Numerical methods for eigenvalue problems in the description of drift instabilities in the plasma edge

Titel:Numerical methods for eigenvalue problems in the description of drift instabilities in the plasma edge
Weiterer Titel:Numerische Methoden für Eigenwertprobleme in der Beschreibung von Drift-Instabilitäten in der Plasma Randzone
URL für Lesezeichen:https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=10950
URN (NBN):urn:nbn:de:hbz:061-20090417-084527-7
Kollektion:Dissertationen
Sprache:Englisch
Dokumententyp:Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:Text
Autor: Löchel, Dominik [Autor]
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Dateien vom 08.04.2009 / geändert 08.04.2009
Beitragende:Prof. Dr. Hochbruck, Marlis [Betreuer/Doktorvater]
Prof. apl. Tokar, Mikhail [Gutachter]
Prof. Dr. Witsch, Kristian [Gutachter]
Stichwörter:polynomial eigenvalue equation, multilevel Jacobi-Davdison algorithm
Dewey Dezimal-Klassifikation:500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:Der Menschheit steht ein Energiemangel bevor, da die fossilen Brennstroffe wie Öl und Gas zur Neige gehen. Kernspaltungskraftwerke sind aufgrund ihrer Gefahr und der ungeklärten Endlagerung keine geeignete Alternative. Erneuerbare Energien sind ein recht teurer Ausweg. Auf der anderen Seite bietet die Fusion von Wasserstoff zu Helium ein riesiges Energiereservoir. Wenige Gramm dieses Brennstoffes liefern die Energie wie Tonnen von Kohle und das Abgas Helium verursacht keinen Treibhauseffekt.

Aus diesen Gründen wird schon seit Jahrzehnten versucht eine kontrollierte Kernfusion unter Laborbedingungen zu erreichen. Zum Auslösen der Fusion ist eine genügend hohe Temperatur und Dichte für eine ausreichend lange Zeit -- die Einschlusszeit -- notwendig. Dabei befindet sich das Gas im sogenannten "Plasmazustand", d.h. Atome sind vollständig ionisiert. Eine vielversprechende Möglichkeit dieses Plasma zu handhaben ist der magnetische Einschluss mit dem Tokamak, einem Torusförmigen Gefäß. Der Tokamak ist Hauptgegenstand dieser Arbeit.

Im Tokamak wird durch Überlagerung äußerer Magnetfelder mit dem des Plasmastroms eine magnetische Geometrie gebildet, bei der die Bahn jeder Magnetfeldlinie in einer torusförmigen Oberfläche liegt. Geladene Teilchen mit einer Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Feldlinie erfahren im Magnetfeld die Lorentzkraft und gyrieren (kreisen) um die Feldlinie. Der Radius dieser Kreisbahn heißt Larmorradius und ist winzig gegenüber der Größe der Maschine. Der Kreismittelpunkt -- das Gyrationszentrum -- bewegt sich mit der parallelen Geschwindigkeitskomponente entlang der Magnetfeldlinie und ist damit in der Oberfläche gefangen.

Die klassischen und neoklassischen Transportprozesse in dieser Geometrie sind bereits gut verstanden. Letztere berücksichtigen, dass durch die Krümmung des Plasmazylinders das Magnetfeld auf der Innenseite stärker ist, als außen. Es hat sich allerdings herausgestellt, dass es zusätzlichen Transport senkrecht zu diesen Flussoberflächen, den sogenannten "anomalen Transport", gibt. Dieser kommt durch Mikroinstabilitäten zustande und ist aktueller Gegenstand der Forschung. Der Anomaltransport verursacht, dass Energie und geladene Teilchen aus der Flussoberfläche nach außen diffundieren wodurch störende Verluste auftreten.

Um diese Prozesse besser zu verstehen und im Endeffekt durch geschickte Bauweise zu reduzieren, ist ein Model zur Beschreibung des anomalen Transports entwickelt worden. Die Komplexität der Gleichungen ist durch verschiedene Vereinfachungen reduziert worden, unter anderem indem sich auf die stärkste Störungsmode konzentriert wird. Aber selbst damit verbleibt eine komplizierte partielle Differential-Eigenwertgleichung zu lösen.

In einem ersten Ansatz wurde das Modell noch weiter vereinfacht, bis es die Form der Mathieu Gleichung erreicht. Damit können allerdings nur gemittelte Plasmagrößen in die Berechnung eingehen. Aber gerade bei einem interessanten Phänomen, dem sogenannten MARFE, treten extreme poloidale Inhomogenitäten auf, deren Betrachtung von großem Interesse ist. MARFE, die vielfältige asymmetrische Strahlung aus der Randzone, tritt toroidal symmetrisch, aber poloidal lokal an Positionen hoher Dichte auf und entzieht dem Plasma einen erheblichen Anteil an Energie, die durch Photonen bei der Rekombination der Ionen und Elektronen zu Atomen abgestrahlt wird, wodurch sich dieses Phänomen selbst verstärkt.

Ebenfalls von Interesse ist die Untersuchung in elongierter und triangulierter magnetischer Geometrie. Es hat sich gezeigt, dass sich die Plasmastabilität verbessert, wenn die Flussoberflächen in die Höhe gezogen und "D"-förmig werden. Das dafür notwendige Koordinatensystem bringt stark inhomogene metrische Koeffizienten in die Eigenwertgleichung ein, welche mit der Mathieu-Gleichung nicht mehr zu handhaben sind.

In dieser Arbeit wird die Eigenwertgleichung in ihrer komplizierten Form betrachtet und ein effizienter numerischer Löser entwickelt: das Mehrgitter-Jacobi-Davidson-Verfahren. Da die für die Physik interessante Eigenfunktion mit stärkster zeitlicher Anwachsrate sehr glatt ist, kann eine grobe Approximation mit geringem Zeitaufwand auf sehr grobmaschigem Gitter erreicht werden. Diese wird dann auf geschickte Weise mit dem Mehrgitter-Jacobi-Davidson-Verfahren auf schrittweise feineren Gittern verbessert.

Der effiziente Eigenwertlöser ermöglicht das System der hochgradig nicht-linearen Anomaltransport-Gleichungen in akzeptabler Zeit iterativ zu lösen. Für diese gedämpfte Fixpunktiteration wird eine problemangepasste Dämpfungssteuerung entwickelt.

Mit den entwickelten numerischen Werkzeugen werden Untersuchungen zur Auswirkung der magnetischen Geometrie, zur Plasmapositionierung und dem Einfluss der Einblasstelle des Fusionstreibstoffes durchgeführt und mit den Erkenntnissen aus Experimenten verglichen.

The fossil fuels like oil and gas are on the decline and thus a shortage of the available energy is unavoidable in the near future. Power plants of nuclear fission are no good alternatives because of their enormous danger and the unsolved question of the final disposal. Renewable energy sources are an expensive resort. On the other hand the fusion of hydrogen (H) to helium (He) supplies a huge amount of energy. A few grams of such fueling gas offer as much energy as tons of coal do, but without any green house gases.

Due to these reasons, scientists try to realize controllable burn conditions under laboratory surrounding for several decades. For ignition of the fusion process the temperature, the density and the confinement time must reach a certain limit such that many nuclei get close together, overcome the Coulomb barrier and undergo fusion. Under this condition the gas is in state of ``plasma'', which means that the atoms are fully ionized. One promising possibility to enclose the plasma is the magnetic confinement in a Tokamak---a torus shaped device. This work will focus on the Tokamak device.

The superposition of two magnetic fields, one from the external poloidal field coils and the other one arising from the plasma current, ends up in a magnetic geometry where the trajectory of each field line lies on the surface of a toroidal enclosed flux tube. Charged particles with a velocity component perpendicular to the magnetic field lines feel the Lorentz force and gyrate in the plane perpendicular to the field line. The distance between the charged particle and the gyration center, the larmor radius, is tiny compared to the dimension of the machine. The center of rotation moves along the field line with the parallel component of the velocity and therefore the charged particle is confined in the flux surface.

Classical and neoclassical processes of transport are already well understood within this geometry. The latter one concerns inhomogeneities of the magnetic field strength due to different lengths of the circumference at the inner and the outer side. However, experiments showed the existence of an additional transport of particles and energy perpendicular to the flux surfaces, the so called ``anomalous transport''. It is driven by micro instabilities and of current research interest. The anomalous transport causes a strong diffusion of energy and charged particles throughout the flux surfaces. These losses make the machine inefficient.

For a better understanding of the anomalous transport and to improve the design of the machine, a model has been developed to describe the process. The complexity of the original equations has been reduced by several simplifications. One idea is to solely concentrate on the perturbation mode with the strongest growth rate in time. This simplified model leads to partial differential eigenvalue problem. In previous approaches the eigenvalue equation has been further simplified to a Mathieu equation with the disadvantage to be restricted to averaged plasma parameters. However, in the most interesting case of the so called MARFE and also with triangulated magnetic geometry, strong poloidal inhomogeneities arise. Their study is of huge research interest.

In this work we consider the eigenvalue equation in its most complicated form and we develop an efficient numerical solver, the multilevel Jacobi-Davidson algorithm. The eigenmode of physical interest---the one of strongest growth rate in time---is smooth and hence, can be approximated on a coarse grid with low computational cost. This approximation is subsequently improved on finer grids by a new variant of the Jacobi-Davidson method.

Once an efficient solver is available, the system of highly nonlinear anomalous transport equations can be solved iteratively in reasonable computational time. The damped fix point iteration includes an adaptive damping strategy.

The numerical tool is used to simulate the impact of the magnetic geometry, shifts of the plasma column, such that the injection of neutrals occurs at different positions and the influence of the position of puffing in fueling gas.
Fachbereich / Einrichtung:Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Angewandte Mathematik
Dokument erstellt am:16.04.2009
Dateien geändert am:08.04.2009
Promotionsantrag am:04.03.2009
Datum der Promotion:27.03.2009
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