Dokument: Dimension results for operator semistable Lévy processes

Titel:	Dimension results for operator semistable Lévy processes
URL für Lesezeichen:	https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=38938
URN (NBN):	urn:nbn:de:hbz:061-20160714-091952-3
Kollektion:	Dissertationen
Sprache:	Englisch
Dokumententyp:	Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Medientyp:	Text
Autor:	Wedrich, Lina [Autor]
Dateien:	[Dateien anzeigen] Adobe PDF [Details] 2,31 MB in einer Datei [ZIP-Datei erzeugen] Dateien vom 13.07.2016 / geändert 13.07.2016
Beitragende:	Prof. Dr. Kern, Peter [Betreuer/Doktorvater] Prof. Dr. Scheffler, Hans-Peter [Gutachter]
Dewey Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beschreibungen:	Operator semistable L\'evy processes are stochastic processes with a selfsimilarity property on a discrete scale. They generalize the better known class of (operator) stable L\'evy processes, which have a continuous scaling property. Stochastic processes with certain scaling and selfsimilarity properties have applications in different scientific areas. In particular, they prove to be a useful tool for developing adequate mathematical models. They are applied, for instance, in order to describe natural dynamic processes in physics or pricing formulas in financial mathematics. In the latter case, selfsimilar processes can be seen as an improvement compared to well established models such as the Black-Scholes model, as they allow taking large jumps and long-term dependencies into account. In literature one can find numerous examples for the determination of the Hausdorff and other fractal dimensions for deterministic selfsimilar sets (on a discrete scale), e.g. for Cantor sets or Sierpinski gaskets. However, there do not exist many results on dimension properties for L\'evy processes with a scaling or selfsimilarity property on a discrete scale yet. This cumulative thesis examines dimension properties of operator semistable L\'evy processes $X=\{X(t):t\geq0\}$ in $\rd$ with exponent $E$, where $E$ is an invertible linear operator on $\rd$. The thesis consists of three manuscripts on the subject. In the first manuscript, the Hausdorff dimension of the range and the graph of a stochastic process generated by the limit distribution of the cumulative gains in a series of St. Petersburg games is calculated over the time interval $[\frac12,1]$. This distribution can be defined as a continuous transformation of a non-strictly, semistable distribution. Furthermore, the Hausdorff dimension $\dim_H Gr_X(B)$ for the graph of an arbitrary operator semistable L\'evy process $X$ in $\rd$ and any Borel set $B\subseteq\rr_+$ is calculated in the second manuscript by interpreting the graph $\operatorname{Gr}_X(B)=\{(t,X(t)):t\in B\}$ as a semi-selfsimilar process in $\rr^{d+1}$, whose distribution is not full. The Hausdorff dimension is expressed in terms of the real parts of the eigenvalues of the exponent $E$ and the Hausdorff dimension of $B$. In the third manuscript, the results on the path behavior of certain operator semistable L\'evy processes are refined by the investigation of exact Hausdorff measure functions. In particular, for the range of certain operator semistable L\'evy processes with a partially diagonal exponent exact Hausdorff measure functions are calculated over the time interval $[0,1]$. Operator-semistabile L\'evy-Prozesse sind stochastische Prozesse mit einer Selbstähnlichkeitseigenschaft auf einer diskreten Skala. Sie stellen eine Verallgemeinerung der besser bekannten Klasse der operator-stabilen L\'evy-Prozesse dar. Stochastische Prozesse mit \mbox{gewissen} Skalierungs- und Selbstähnlichkeitseigenschaften finden Anwendung in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen. Insbesondere haben sie sich als ein nützliches Werkzeug bei der Entwicklung von adäquaten mathematischen Modellen erwiesen. Sie werden beispielsweise verwendet, um natürliche dynamische Prozesse in der Physik oder Preismodelle in der Finanzmathematik zu beschreiben. Im letzteren Fall kann die Verwendung selbstähnlicher Prozesse als eine Verbesserung etablierter Methoden wie des Black-Scholes-Modells gesehen werden, da sie es ermöglichen, langfristige Abhängigkeiten und große Sprünge zu berücksichtigen. In der Literatur finden sich zahlreiche Beispiele für die Bestimmung der Hausdorff- und anderer frakataler Dimensionen von deterministischen selbstähnlichen Mengen, wie beispielsweise die der Cantor-Menge oder des Sierpinski-Dreiecks. Bis heute existieren jedoch wenige Resultate zu Dimensionseigenschaften von L\'evy-Prozessen mit einer Skalierungs- oder Selbstähnlichkeitseigenschaft auf einer diskreten Skala. Die vorliegende kumulative Dissertation untersucht Dimensionseigenschaften von operator-semistabilen L\'evy-Prozessen $X=\{X(t):t\geq0\}$ in $\rd$ mit Exponent $E$, wobei es sich bei $E$ um einen invertierbaren linearen Operator auf $\rd$ handelt. Die Dissertation enthält drei \mbox{Manuskripte} zu diesem Thema. Im ersten Manuskript wird die Hausdorff-Dimension des Bildes und des Graphen eines stochastischen Prozesses über dem Zeitinterval $[\frac12,1]$ berechnet, der von der Grenzverteilung der kumulierten Gewinne in einer Reihe von St. Petersburg-Spielen generiert wird. Diese Verteilung kann als kontinuierliche \mbox{Transformation} einer nicht-strikten, semistabilen Verteilung definiert werden. Zudem wird im zweiten \mbox{Manuskript} eine allgemeine Formel für die Hausdorff-Dimension $\dim_H Gr_X(B)$ des Graphen eines operator-semistabilen L\'evy-Prozesses für eine beliebige Borel-Menge $B\subseteq\rr_+$ aufgestellt. Dies wird erreicht, indem der Graph $\operatorname{Gr}_X(B)=\{(t,X(t)):t\in B\}$ als semi-selbstähnlicher Prozess definiert wird, dessen Verteilung jedoch nicht voll ist. Die Hausdorff-Dimension wird in Abhängigkeit der Realteile der Eigenwerte des Exponenten $E$ und der Hausdorff-Dimension von $B$ ausgedrückt. Im dritten Manuskript werden exakte Hausdorff-Maß-Funktionen für gewisse operator-semistabile L\'evy-Prozesse mit teilweise diagonalem Exponenten $E$ über dem Zeitintervall $[0,1]$ ermittelt.
Lizenz:	Urheberrechtsschutz
Fachbereich / Einrichtung:	Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät
Dokument erstellt am:	14.07.2016
Dateien geändert am:	14.07.2016
Promotionsantrag am:	27.04.2016
Datum der Promotion:	07.07.2016