Dokument: Asymptotisch effizientes Schätzen von Funktionalen im nichtparametrischen Fall
| Titel: | Asymptotisch effizientes Schätzen von Funktionalen im nichtparametrischen Fall | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=28290 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20140205-133420-8 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Deutsch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Knoch, Andreas [Autor] | |||||||
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| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibung: | Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der asymptotischen G\"ute von Sch\"atzern $T_n: \Omega^n \to \R$ f\"ur Funktionale $\kappa: \mathcal{P} \to \R$ auf nichtparametrischen Familien von Wahrscheinlichkeitsma{\ss}en $\mathcal{P}$. Betrachtet werden Sch\"atzer $T_n$ zum Stichprobenumfang $n$, die f\"ur $n \to \infty$ eine Verteilungskonvergenz aufweisen in Form von
$$\sqrt{n}(T_n - \kappa(P_0)) \kvgtD Y \sim L$$ unter festem, aber beliebigem $P_0 \in \calP$ und zudem eine Regularit\"atsbedingung erf\"ullen. Ist die Varianz der Grenzverteilung minimal, so hei{\ss}t der Sch\"atzer asymptotisch effizient. Ziel der Arbeit ist es, f\"ur einen gegebenen Sch\"atzer $T_n$ die asymptotische Effizienz nachzuweisen. Zur Ann\"aherung an dieses Problem werden in den Kapiteln eins und zwei zun\"achst $L_2$-differenzierbare parametrische Teilmodelle mit Tangente $g$ betrachtet. Ist $\kappa$ differenzierbar, so setzt sich die Verteilung $L$ f\"ur regul\"are Sch\"atzer auf diesen Teilmodellen nach dem Faltungssatz von H\'ajek-Le Cam aus dem Faltungsprodukt einer Normalverteilung $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ und eines weiteren Wahrscheinlichkeitsma{\ss}es $\nu$ zusammen. $\sigma^2 = \frac{\kappa'(P_0)^2}{I_0}$ mit der Fisher-Information $I_0 = \int g^2 dP_0$ h\"angt hierbei nur von den lokalen Eigenschaften des speziellen Teilmodells, genauer der Tangente $g$ in $P_0$, und der Ableitung des Funktionals, nicht aber vom Sch\"atzer $T_n$ ab. Die Varianz ist somit dann minimal, wenn $\nu$ verschwindet, und $\sigma^2$ bildet eine untere Schranke. Da die parametrischen Teilmodelle im nichtparametrischen Modell $\calP$ enthalten sind, l\"asst sich dieses Konzept in Kapitel drei auf den nichtparametrischen Fall erweitern, indem eine gro{\ss}e Anzahl solcher Modelle bzw. Tangenten $g$ aus dem Tangentialraum $T(P_0,\calP)$ mit entsprechenden Teilmodellen, die $g$ als Tangente besitzen, gleichzeitig betrachtet wird. Im Laufe dieser Arbeit wird dabei gezeigt, dass es bereits ausreicht eine dichte Teilmenge des Tangentialraums und zugeh\"orige Teilmodelle heranzuziehen, was eine erhebliche Vereinfachung darstellt, um f\"ur gegebene Sch\"atzer die asymptotische Effizienz nachzuweisen. So kann in Kapitel vier in gro{\ss}er Allgemeinheit die asymptotische Effizienz von $L$-Statistiken, den kanonischen Sch\"atzern der $L$-Funktionale, nachgewiesen werden. In Kapitel f\"unf kann mit diesen Methoden zudem die asymptotische Effizienz von Sch\"atzern spezieller Funktionale aus der Survival Analysis und insbesondere erneut sehr schnell jene des bekannten Nelson-Aalen- und Kaplan-Meier-Sch\"atzers sowohl f\"ur unzensierte als auch f\"ur rechtszensierte Daten gezeigt werden. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik » Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie | |||||||
| Dokument erstellt am: | 05.02.2014 | |||||||
| Dateien geändert am: | 05.02.2014 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 23.10.2013 | |||||||
| Datum der Promotion: | 22.01.2014 |
