Dokument: Arthurs Spurformel für GL(2) und GL(3) und Testfunktionen mit nicht-kompaktem Träger
| Titel: | Arthurs Spurformel für GL(2) und GL(3) und Testfunktionen mit nicht-kompaktem Träger | |||||||
| Weiterer Titel: | Arthur's trace formula for GL(2) and GL(3) and non-compactly supported test functions | |||||||
| URL für Lesezeichen: | https://docserv.uni-duesseldorf.de/servlets/DocumentServlet?id=18616 | |||||||
| URN (NBN): | urn:nbn:de:hbz:061-20110712-105718-9 | |||||||
| Kollektion: | Dissertationen | |||||||
| Sprache: | Englisch | |||||||
| Dokumententyp: | Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation | |||||||
| Medientyp: | Text | |||||||
| Autor: | Matz, Jasmin [Autor] | |||||||
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| Beitragende: | Priv.-Doz. Dr. Finis, Tobias [Betreuer/Doktorvater] Prof. Dr. Singhof, Wilhelm [Gutachter] Prof. Dr. Müller, Werner [Gutachter] | |||||||
| Dewey Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik | |||||||
| Beschreibungen: | Die Arthur-Selberg-Spurformel ist eine Identität zweier Distributionen, der sogenannten geometrischen und spektralen Seite, auf einem geeigneten Raum von Testfunktionen, welche auf den adelischen Punkten einer reduktiven algebraischen Gruppe definiert sind. Sie stellt ein wichtiges Werkzeug in der Theorie der automorphen Formen dar, und ist selbst Gegenstand weitreichender Untersuchungen. Wir werden verschiedene Aspekte dieser Spurformel untersuchen.
Für mögliche Anwendungen ist es von Bedeutung, große Räume von Testfunktionen und sinnvolle Entwicklungen der Distributionen zur Verfügung zu haben. Wir stellen für die Gruppe GL(3) eine modifizierte Form der von Arthur angegebenen feinen geometrischen Entwicklung auf und zeigen, dass die so modifizierte geometrische Seite für einen großen Raum von Testfunktionen absolut konvergent ist. Dieser Raum von Testfunktionen ist in gewisser Weise natürlich und entsprechende Resultate für die geometrische Seite der Spurformel von GL(2) bzw. für die Spektralseite der Spurformel einer allgemeinen Gruppe wurden von Finis und Lapid (2011) bzw. Finis, Lapid und Müller (2011) bewiesen. In diesem Raum von Testfunktionen befinden sich für die Gruppen GL(n) insbesondere spezielle, von einem komplexen Parameter s (mit Re(s)>>0) abhängige Funktionen, die von besonderer arithmetischer Bedeutung sind. Für solche Funktionen ergibt sich beispielsweise mit Hilfe der Theorie von Godement-Jacquet für den Hauptteil der Spektralseite eine Summe von automorphen L-Funktionen. Es ist dementsprechend naheliegend, die Spurformel für GL(n) für diese Testfunktionen als Funktion von s zu betrachten. Wir werden meromorphe Fortsetzungen für die spektralen Terme auf größere Halbebenen zeigen und deren erste Pole bestimmen. Als Anwendung werden wir eine Asymptotik bestimmter Bahnintegrale zeigen, die zu ganzzahligen Elementen in total reellen kubischen Erweiterungen über den rationalen Zahlen gehören. Für GL(n) im Allgemeinen erwartet man ähnliche Asymptotiken solcher Summen für n-dimensionale Körpererweiterungen bestimmter Signatur, sofern die Konvergenz der geometrischen Seite für die jeweils benötigte Spurformel gezeigt werden kann. Eine Konsequenz aus obiger Asymptotik ist eine obere Schranke für den Limes Superior von X^{-5/2}\sum\res_{s=1}\zeta_E(s) für X gegen Unendlich, wobei sich die Summe über alle kubischen, total reellen Erweiterungen E/Q erstreckt, für welche das zweite sukzessive Minimum der positiv definiten quadratischen Form auf den ganzen Zahlen von E, welche x auf die Spur der Erweiterung E/Q von x^2 abbildet, kleiner oder gleich X ist. Es ist zu erwarten, dass der Grenzwert dieser Summe existiert und nicht verschwindet. Der Fall GL(2) dient hierbei als Vorbild und wir werden ihn im Detail untersuchen: Aufgrund der oben genannten Resultate, dürfen wir auch hier unsere speziellen Testfunktionen verwenden. Es wird sich unter anderem herausstellen, dass der Hauptteil der geometrischen Seite durch die Shintani-Zetafunktion gegeben ist, mit deren Hilfe Shintani in der Lage war, Asymptotiken für Klassenzahlen von binär-quadratischen Formen anzugeben.The Arthur-Selberg trace formula is an identity of two distributions, the so-called geometric and spectral side, on a space of test functions defined on the adelic points of a reductive algebraic group. It is an important tool in the theory of automorphic forms, and it is itself the object of extensive studies. We are going to study different aspects of this trace formula. For potential applications it is of importance to have large spaces of test functions and meaningful expansions of the distributions available. We are giving a modified version of Arthur's fine geometric expansion for the group GL(3), and we are showing that this modified geometric expansion converges absolutely for a large space of test functions. This space of test functions is in some sense natural and corresponding results for the geometric side of the trace formula for GL(2) resp. for the spectral side of the trace formula for a general reductive group, have been shown by Finis and Lapid (2011) resp. Finis, Lapid und Müller (2011). This space of test functions contains for GL(n) certain special functions depending on a complex parameter s (with Re(s)>>0), which are of special arithmetic interest. For example, the main part of the spectral side yields a sum of automorphic L-functions by the theory of Godement-Jacquet. It is therefore natural to consider the trace formula for GL(n) for such test functions as a function of s. We give meromorphic continuations for the spectral terms to larger half planes and determine their first poles. As an application we show an asymptotic of certain orbital integrals associated with integral elements in totally real cubic fields extensions of the rational numbers. For GL(n) in general, one expects similar asymptotics for sums of n-dimensional field extensions of certain signature, provided that the convergence of the required trace formula can be shown. A consequence of above asymptotic is an upper bound for the limit superior of X^{-5/2}\sum\res_{s=1}\zeta_E(s) as X tends to infinity, where the sum extends over all totally real cubic extensions E/Q for which the second successive minimum of the positive quadratic form on the integers of E, which sends x to the trace of the extension E/Q of x^2, is less than or equal to X. The limit of this sum is actually expected to exists and to be non-zero. The case of GL(2) serves as a model and we shall study it in detail: Because of the aforementioned results, we are allowed to use our special test functions in this case as well. In particular, it turns out that the main part of the geometric side is constituted by the Shintani zeta function with the help of which Shintani was able to show asymptotics for class numbers of binary quadratic forms. | |||||||
| Lizenz: |  Urheberrechtsschutz | |||||||
| Fachbereich / Einrichtung: | Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät » WE Mathematik | |||||||
| Dokument erstellt am: | 12.07.2011 | |||||||
| Dateien geändert am: | 12.07.2011 | |||||||
| Promotionsantrag am: | 08.04.2011 | |||||||
| Datum der Promotion: | 01.07.2011 |
