| Beschreibungen: | Sei G eine diskrete Gruppe, die auf einer zusammenziehbaren Mannigfaltigkeit X differenzierbar und eigentlich diskontinuierlich operiert. Ein wichtiges Beispiel ist die Operation von arithmetischen Untergruppen G gewisser Liegruppen H auf dem symmetrischen Raum X=H/K, wobei K Ext*(S(M),S(N))$, der ein Isomorphismus ist, sofern eine der Darstellungen M oder N trivial, also gleich k ist. Der Beweis, dass a im Falle N=k ein Isomorphismus ist, folgt daraus, dass dann die Ext-Garbe ext^j(S(M),S(N))=0 für alle j>0 gilt. In einer unveröffentlichten Arbeit hat W. Singhof dies mit Hilfe der Poincaré-Verdier-Dualität gezeigt. In der vorliegenden Arbeit wird dieser tiefliegende Dualitätssatz vermieden. Dieses Resultat ergibt sich nämlich als eine direkte Konsequenz eines allgemeinen Studiums des Homomorphismus a für beliebige M und N, wobei wir uns auch auf die Entwicklung von Berechnungsmethoden für die Invarianten Ext^*(S(M),S(M))$ bzw. der Garben ext*(S(M),S(N)) konzentrieren, in der Hoffnung, nützliche Informationen über die Kohomologie von G zu erhalten.
Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist, dass a ein Teil einer langen exakten Sequenz ist, wobei jeder dritte Term dieser exakten Sequenz durch die Homologie der G-Invarianten W^G$ eines kombinatorisch definierten Kettenkomplexes W von G-Moduln ist. Genauer ist W eine Art simplizialer Kettenkomplex auf der singulären Menge X_s, mit einem (nicht lokalkonstanten) von den Stabilisatoren und den Darstellungen M und N von G abhängigen Koeffizientensystem. Eine lokale Version der eben genannten Vorgehensweise zeigt, dass ext*(S(M),S(M)) die Homologie eines ähnlich definierten Komplexes von konstruierbaren Garben ist. Wir erhalten u.a. Endlichkeits- und Verschwindungsresultate für die genannten Invarianten.Let G be a discrete group which acts on a contractible manifold X smoothly and properly discontinuously. An important example is the action of arithmetic subgroups G of certain Lie groups H on the associated symmetric space X=H/K where K Ext*(S(M),S(M))$, which is an isomorphism whenever one of the representations M or N of G is trivial. The proof that a is an isomorphism in the N=k case follows from the fact that the Ext-sheaves ext^j(S(M),S(N)) vanish for each j>0, which was shown by Singhof in an unpublished paper with the help of Poincaré-Verdier-Duality. The approach presented in this thesis avoids this sophisticated tool. The result will, instead, be a direct consequence of a general study of the map a for arbitrary M and N. Furthermore, we are interested in developing tools for the computations of the invariants Ext^*(\km,\kn) and ext*(S(M),S(N)) in the hope that they yield useful information about the cohomology of G.
One of the main results is that the comparison map a fits into a long exact sequence where every third term in the sequence is given by the homology of the G-invariants W^G of a combinatorially defined complex W of G-modules. More precisely, W is a kind of simplicial chain complex on the singular set X_s with respect to a (not locally constant) coefficient system which depends on the stabilizers of G and on the representations M and N. A local version of this procedure shows that ext^*(S(M),S(N)) is the homology of a chain complex of similarly defined constructable sheaves. We gain vanishing and finiteness results for the invariants mentioned above.
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